Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
22-0788338
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
с максимальным импульсом kF:
8Л - Г (И.3.39)
' (2лй)3 J 3я2Й3 '
о
Плотность массы
р = птя\і, (11.3.40)
где ц —число нуклонов, приходящихся па электрон; ц »2 для звезд, которые полностью израсходовали водород. Это дает следующее значение:
Условие, при котором тепловой энергией можно пренебречь имеет вид
kT < [fc/ + тпе2]У2 - тпе. Кинетическая энергия и давление этих электронов равны
(2лй)
J?
j [(k2 + m2)1/2-me]k2dk, (11.3.42)
8я_
)3 , о
8я Ґ ?2
--—jrtfdk. (11.3.43)
* 3(2лй)3 j {fc2+we2)
[См. формулу (2.8.4).] Уравнение состояния можно явно записать, если подставить выражение (11.3.41) в (11.3.43).
Для белых карликов уравнение состояния не имеет простого вида, однако оно сводится к уравнению политропы в двух предельных случаях, когда р < Рьр и р > ркр, где ркр — критическая плотность, при которой kF становится равным те; в единицах СГС получаем
Pkp =-2Ss^ = O,97.IOV г/см3. (11.3.44)
А. Рассмотрим случай р ркр. Тогда kF те, и соотношения (11.3.42) и (11.3.43) дают
3
е = ТР,
_ 8nkFb___№ / Зл2р \ 5/з
P — 15те (2яй)3 15тел2 \ mH\i )
Этот результат соответствует политропе с параметрами
5 й2 / Зл2 \б/з ... 0 ,rs
v=T' • (11-3-45)§ 3. Ньютоновские звезды: политропы и белые карлики
339
Из выражения (11.3.17) можно получить массу (в единицах СГС) а выражение (11.3.16) дает радиус (в единицах СГС)
МтГ W(TTOj) х
x(A)-'. = 2, ,MOV-(^ap „„ (11.3.47,
Б. Рассмотрим случай р ркр. Тогда kF > те, и выражении (11.3.42), (11.3.43) приводят к следующему результату:
е = 3 р,
__ 8лApi___h_ і Зя2р \ 4/з
12(2Jtft)3 ~ 12я2 '
Это соответствует политропе с параметрами
4 „ ft / Зя2 \4/з ... „ /0,
T = T' * = 15? UjT) • (11-3-48)
Из выражения (11.3.17) следует единственное значение массы (в единицах СГС), равное
M = I (3*)1/2 (2,01824) ( Д^2) = 5,87^М? (11.3.49)
а выражение (11.3.16) дает следующее значение радиуса (в единицах СГС):
»'{«"'!««(я^КжГ =
= 5,3-IOV1 (-?")173 км' (11-3.50)
P(O) )
Заметим, что для р (0) < рьр, у > V8 и поэтому менее массивные белые карлики устойчивы. Мы видим, что при увеличении центральной плотности величина M растет монотонно, достигая максимума (11.3.49), когда р (0)оо; в этом случае не существует точки, в которой звезда становится неустойчивой. Таким образом, можно уже сделать вывод, что белый карлик может быть устойчивым, если его масса меньше (11.3.49). Эта максимальная масса называется пределом Чандрасекара [10, 11).
В действительности же картина не столь проста. При kF ж «5те становятся энергетически выгодными процессы захвата
22*340
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
электронов ядрами с превращением протонов в нейтроны и рождением нейтрино, которые сразу улетают из системы. Этот эффект приводит к увеличению числа р, нуклонов, приходящихся на один электрон, и, согласно выражению (11.3.46), снижает величину массы M при заданной центральной плотности. Следовательно, можно ожидать, что M увеличивается, стремясь к пределу Чандра-секара, до тех пор, пока центральная плотность не примет значения р (0) a; 53priP [см. выражения (11.3.41) и (11.3.44)]; при этом M достигает максимума, а затем начинает убывать. Подробные вычисления показывают (см. фиг. 5 и гл. 10 в [1]), что максимальная масса равна 1,2Mq, т. е. приблизительно совпадает с пределом Чандрасекара, который составляет 1,26Mq для Ji = 5в/2б- Радиус звезды максимальной массы равняется 4 -IO3 км. Теорема 2 предыдущего параграфа утверждает, что этот максимум есть точка перехода от стабильных состояний к нестабильным, так что стабильные железные белые карлики могут существовать только при M С 1,2Mq.
Наиболее интересным для изучающих общую теорию относительности является абсолютное значение GM/R гравитационного потенциала на поверхности белого карлика. Для р (0) ркр этот параметр задается выражениями (11.3.46) и (11.3.47):
а для р (0) р,;р гравитационный потенциал задается выражениями (11.3.49) и (11.3.50):
T-(IS) <"-3-52>
Видно, что GM/R всегда остается очень малой величиной из-за коэффициента mjmu = 5,4-10-4. Таким образом, эффекты общей теории относительности не вносят больших изменений в структуру белых карликов. Величина GMIR растет с увеличением центральной плотности и становится наибольшей при максимальной массе 1,2Mq, равной 4-Ю-4. Наш старый знакомый, 40 Эридан В, характеризуется GMlR «6 -IO"5 (§ 5 гл. 3), так что вряд ли можно ожидать серьезных улучшений в измерении красного смещения, если обнаружатся белые карлики с гораздо большими значениями красного смещения.
§ 4. Нейтронные звезды
В предыдущем параграфе мы убедились в том, что белые карлики, удерживаемые за счет давления холодных вырожденных электронов, не могут быть в равновесии, если их масса превышает предел Чандрасекара, равный примерно /z3/2/(mH2G3/2). Гра-§ 4. Нейтронные звезды
341
/?, км
Фиг. 11.2. Равновесные состояния звезды. Сплошной линией слева и справа представлены соответственно решения Оппенгеймера — Волкова [12] для чисто нейтронной звезды и решение Чандрасекара [10] для белого карлика из чистого Fe6e. Пунктирная линия дает экстраполяцию нерелятивистских решений в этих двух случаях. Точки представляют интерполяцию решения Уилера, Гаррисона, Торна и Вакано [1], в котором учтено смещение химического состава от Fe6' к нейтронам. Стрелки указывают направление роста центральной плотности. Как доказано в теореме І, всевозможные переходные состояния между устойчивостью и неустой-чрівостью возникают при максимумах или минимумах величины М, отмеченных здесь