Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
^<1. (11.3.3)
При этих условиях фундаментальное уравнение (11.1.13) принимает вид
_ry (г) = GoM, (г) р (г), (11.3.4) где оМ (г) определяется следующим образом:
г
M{r)= j Anr12P (r')dr'. (11.3.5)
о
Разделив уравнение (11.3.4) на р (г) и продифференцировав его по г, объединим уравнения (11.3.4) и (11.3.5) в единственное дифференциальное уравнение второго порядка
^T= -4^2PW- (11-3'6)
Для того чтобы р (0) было конечным, необходимо, чтобы р' (0) обращалось в нуль. Следовательно, задавая уравнение состояния р = р (р) (при условии dp!dp Ф- 0), мы можем найти р (г), если решим уравнение (11.3.6) со следующими начальными условиями: р (0) равно некоторой заданной величине, а
р' (0) = 0. (11.3.7)
ІУравнение (11.3.7) вытекает также из требования, чтобы р (г) была аналитической функцией от х, у и z при х = у = z = 0.] Далее, нам необходимо получить уравнение состояния. Обычно плотность внутренней энергии пропорциональна давлению, т. е.
Є= р -TOhTZ = (у -1)"У (11.3.8)
[Здесь (у —I)-1 — константа пропорциональности; величина у не будет отношением удельных теплоемкостей, если только ей P не будут пропорциональны температуре.] Тогда условие однородности энтропии, приходящейся на один нуклон, запишется следующим образом:
-Ґ (-^) +P-i(ir) +PНіг) ~
-їМ"-?(4-)+(4-)-&}=»• 332
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
и, следовательно,
р ~ лУ,
или, поскольку р a; тнп, последнее выражение примет вид
р = Kpv. (11.3.9)
Константа пропорциональности К зависит от величины энтропии, приходящейся на нуклон, и от химического состава, но не зависит от г или р (0). Любая звезда, для которой уравнение состояния имеет вид (11.3.9), называется политропой.
В случае политропы фундаментальное уравнение (11.3.6) можно преобразовать к безразмерному виду. Введем новую независимую переменную I с помощью соотношения
H ^(V7-I) )1/2p(°)(v~2)/2I (11.3.10)
и зависящую от нее новую переменную 9 следующим образом: р = р (0) OV(V-I)j p = ^p(O)v0v/(r-i). (11.3.11) Тогда уравнение (11.3.6) примет вид
?2lf+01/Cv~1) = O- (11.3.12)
Граничные условия для функции 0 (|) запишутся так:
0(0)=1, 0'(0)=0 (11.3.13^
[см. уравнение (11.3.7)]. Функция 0 (ё), определяемая соотношениями (11.3.12) и (11.3.13), называется функцией Лейна —Эмдена с индексом (у —I)-1 (эти функции широко обсуждаются в книге [5]). Если \ близко к нулю, уравнение (11.3.12) приводит к следующему разложению:
= + (11-3"14)
Можно также показать, что для у > fV5 функция 0 (|) обращается в нуль при некотором конечном значении I = I1, т. е.
0 (h) = 0. (11.3.15)
G помощью выражения (11.3.10) можно, таким образом, задать радиус звезды
Ky \ 1/2
M 4ngff-l) ) P(°)(V-2)/2^b (11.3.16) § 3. Ньютоновские звезды: политропы и белые карлики 333
Применим решение Лейна —Эмдена также для вычисления массы звезды: R
M= j Anr2P (г) dr = о
з
/2 j |2ei/(v-i)(|)dE = о
3/2Vi 10' (E1)I-
Исключая из (11.3.16) и (11.3.17) величину р (0), получаем соотношение между MnR:
M = 4jtjR(3v- 4)/(y-2) ( 4ябу ) - 1/(v_2) er<3V~4>/(V-2) ^ | q' |
(11.3.18)
Численные значения констант H1 и S12 [ 0' (E1) | сведены в табл. 11.1 (см. в [5] табл. 4).
Таблица 11.1
Численные значения параметров I1 и —li29' (I1) для разнообразных ньютоновских политроп [5J
У Il -SiV (50 Примеры
% OO 1,73205
31,83646 1,73780
5A 14,97155 1,79723
9/т 9,53581 1,89056
4/з 6,89685 2,01824 Белые карлики с наибольшей массой
'/5 5,35528 2,18720
3Z2 4,35287 2,41105
5/з 3,65375 2,71406 Белые карлики с малой массой
2 я я
3 2,7528 3,7871
OO У<г 2"\/б Несжимаемые звезды
Для ньютоновских звезд основной вклад в M дает полная масса покоя Nmw, поэтому число нуклонов в звезде с хорошим приближением равно
Nw-. (11.3.19)
Мы хотим также знать внутреннюю энергию E = M — Nmn. В общем случае для ньютоновских звезд величина E задается
= 4пР (°)(3v-4V2 (^пг) 334
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
с помощью уравнений (11.1.26), (11.1.29) и (11.1.30) следующим образом:
E = T + F, (11.3.20)
а тепловая и гравитационная энергия T и F записываются так:
R
T1=J 4лт2е (r)dr, (11.3.21)
R
V = — j 4jtrGaa (г) р (г) dr. (11.3.22)
о
Сейчас мы покажем, что для политроп величины T и F задаются удивительно простыми формулами [6, 7]:
1 GM^
J=W^TT- <и-3-23>
г--ш-ejS-' ("-3-24>
и поэтому полная внутренняя энергия
(Зт-4) GM2 Mi 3 2^
Чтобы доказать формулу (11.3.24), используем уравнение (11.3.4) и перепишем интеграл (11.3.22) в виде
Д R
F = 4л J г3 -?^- dr = - 12я j r2p (г) dr. (11.3.26) о о
Умножив и разделив подынтегральное выражение на р (г), получим
у = _3 ! TWd"" w =3 J (r) A (f&r) •
о о
(Мы считаем здесь, что у > 1, так что р/р обращается в нуль при г = R.) Если с помощью уравнения состояния вычислить d[p(r)/p (г)]
JL С р(гМ = ( У-1 \ p'(r) = _ ZJLzl\ c^w
dr I P (г) / \ Y ) р (г) \ у ) г* '
то этот интеграл можно вычислить
F=-3 (1^1)] ^Ldr. (Ц.3.27) § 3. Ньютоновские звезды: политропы и белые карлики
