Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что структура формул для волн в линиях вполне аналогична структуре формул (11.09) для плоских волн в однородных средах: А соответствует волновому числу K=kV&V-, напряжение U — составляющей Ex, ток J — составляющей Hv, волновой импеданс Z — волновому импедансу ?=J/"р/є. Это объясняется тем, что телеграфные уравнения (30.02) имеют ту же структуру, что и уравнения (11.03) для плоских волн.
В качестве простейшего примера рассмотрим линию без потерь. Это значит, что считаем утечку равной ,нулю (G = O), т. е. предполагаем, что пространство между проводами является непроводящим; например, это может быть пустота, как это считали в § 29. Кроме того, пренебрегаем потерями в проводах, считая их идеально проводящими (/? = 0). Так как для идеальных проводников внутренняя индуктивность равна нулю, то в этом случае полная погонная индуктивность линии L сводится к ее внешней индуктивности, которую будем в дальнейшем обозначать через Le. При этих упрощениях формулы (30.05) и (30.08) принимают вид
A = со уТД Z = VLJC. (30.09)
Если воспользоваться результатами § 29, в котором для проводов в пустоте получены волновые числа ±k, то получим следующее соотношение между погонной емкостью и погонной внешней индуктивностью:
LeC=Hc2. (30.10)
Пользуясь этим соотношением, легко преобразовать выражение (30.09) для волнового сопротивления К (В'їзду
Z = I /сС. (30.11)
В системе единиц СГС, которая здесь все время используется, погонная емкость С является безразмерным параметром (иначе говоря, имеет размерность см/см). Если желательно выразить волновое сопротивление в омах, считая величину С по-прежнему безразмерной, то в формуле (30.11) достаточно заменить
1/с-^30 О.М. (30.12)
§ 31. Электродинамический вывод телеграфных уравнений
Дадим электродинамический вывод телеграфных уравнений (30.02) для линии передачи, . состоящей из двух проводов (рис. 22). Будем считать, что в первом проводе ток J = J(z, t), а во втором проводе —/. Этим самым определено понятие тока в линии. Напряжение U ввести труднее, так как понятие напряжения в случае электродинамического поля, вообще говоря, непримени-
Ili мо. Эту трудность обходим тем, что напряжением U = U (z, t) между проводами 1 и 2 называем интеграл
U = \ E3ds, (31.01)
і
взятый їв данном поперечном сечении 2=Const по кратчайшему пути от провода 1 к проводу 2.
Перейдем теперь к выводу уравнений (30.02) для функций U и I. Как оказывается, первое уравнение (30.02) является следствием закона электромагнитной индукции Фарадея, а второе уравнение (30.02) — следствие закона сохранения заряда. Однако, выводя телеграфные уравнения из этих общих законов электродинамики, необходимо сделать дополнительные предположения, которые выполняются приближенно и делают телеграфные уравнения применимыми только при определенных условиях.
Напишем второе уравнение Максвелла в интегральной форме (закон электромагнитной индукции Фарадея)
§Esds =--j Bn dS, (31.02)
с с dt s
где 5 — поверхность, ограниченная замкнутым контуром С. Применим его к прямоугольному контуру abcda, изображенному на рис. 22. Этот контур состоит из двух отрезков ab и cd, лежащих на поверхности проводов 1 и 2, и двух отрезков be и ad, соединяющих провода по кратчайшей прямой в поперечном сечении 2 + + dz я Z соответственно. Вычисляя циркуляцию электрического поля по замкнутому контуру abcda, для интеграла по каждой стороне в отдельности получаем
f Es ds = U (z + dz) = U(Z)+ — dz,
ь Sz
j Es ds= — j Es ds= —U (z), (31.03)
d a
b d ,
^ Es ds = Ez \ dz, j Ez ds=—EZt2dz,
а с
где через ?z,i и Ez,2 обозначены составляющие электрического
Рис. 22. К выводу 1-го телеграфного уравнения
112
Z z+az
Рис. 23. К выводу 2-го телеграфного уравнения поля на проводах 1 я 2 соответственно. Полагая согласно § 26 и 27
Eztl=(R^iaLiii)J, Ez,2 = — (R2—mLi:2)J, (31.04)
где Rі—'KaLiiX и R2—KoLli2 — погонные внутренние импедансы проводов 1 и 2, и обозначая
Я = Li = LlllH-Lll2l (31.05)
получаем циркуляцию электрического поля
j ?e ds= -I- (/?—icoZ,0 [/ 1 dz. (31.06)
ahtda L дг J
Магнитный поток через прямоугольник abcda можно представить в виде
j BndS = cWdz, (31.07)
a'jcda
поскольку элемент площади dS = dsdz, где ds есть элемент длины прямой, соединяющей провода 1 и 2. Величина
W = — \ Bn ds (31.08)
с J
равна (с точностью до множителя 1 /с) магнитному потоку, проходящему между проводами линии на единицу ее длины.
Подставляя 'выражения (31.06) и (31.08) в уравнение (31.02), для временной зависимости е~іш получаем комплексное уравнение
— — = — і со J — і coY. (31.09)
dz
Входящая в него величина T = T(Z) определяется согласно формуле (31.08) магнитным полем в данном поперечном сечении z. Магнитное поле в конечном счете возбуждается токами, текущими по проводам 1 и 2. Предположим, что это поле определяется только током /, проходящим через сечение z, и не зависит от токов, имеющихся в других частях линии. Предположение о локальном характере магнитного поля может выполняться лишь приближенно, поскольку из электродинамики известно, что сколь угодно удаленные токи влияют на магнитное поле в точке наблюдения. Примем, однако, пока это предположение без критики и выясним, какие следствия из него вытекают.
