Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
по формуле (27.08) получилось таким же, как для плоской волны, распространяющейся внутрь провода в радиальном направлении (см. § 25).
При конечных значениях a/d погонный импеданс приходится вычислять с помощью формулы (27.16), пользуясь таблицами функций Бесселя от комплексного аргумента. В безразмерных переменных нетрудно построить универсальный график, пригодный для расчета погонного импеданса проводов из любого материала. Этот график дан на рис. 16, где представлены (в зависимости от ajd) три отношения: RjR0, OiLiIR0 и LiILi0, где через Lj0 обозначена погонная индуктивность «а постоянном токе, определяемая формулой (27.18).
Видно, что активное и реактивное сопротивления единицы длины провода при увеличении отношения aid, т. е. при росте частоты, неограниченно возрастают, в то время как внутренняя индуктивность падает. Действительно, из формулы (27.20) следует, что
Л- = ^L = JL Ll = 2A- при _?_ ^00. (27.21)
Ro R0 2d ?0 a d
Рис. 16. Погонный внутренний импеданс цилиндрического провода
Уменьшение Li с ростом частоты физически объясняется тем, что при уменьшении d ток и поле вытесняются из внутренней области провода, из-за чего находящаяся внутри провода магнитная энергия стремится к нулю.
При этом нетрудно показать, что введенные в этом параграфе величины R и Li имеют тот же энергетический смысл, что и соответствующие величины в § 26, и, в частности, удовлетворяют соотношениям (26.14). Доказательство этого утверждения дано в задаче 3; оно основано на теореме о комплексной мощности, примененной к единице длины провода (рис. 17).
Существенно, что как при переменном, так и при постоянном токе мощность поступает в данный участок цепи (отрезок проводника) не через поперечные сечения, где ©2 = 0, а через его боковую поверхность, где ©г<С0, т. е. из внешнего пространства. Во внешнее пространство мощность подается теми участками цепи,
98 где приложены сторонние электродвижущие силы. Поэтому скин-эффект в цепи переменного тока и скин-эффект при падении волны на проводящее тело можно рассматривать с единой точки зрения.
Отметим, что выражение для Zi было выведено в предположении, что переменный ток равномерно распределен по длине провода. Если же, например, вдоль провода бежит волна с волновым числом h, так что зависимость поля и тока от 2 определяется множителем eiftz, то в каждом поперечном сечении Z = COnst составляющая Ez будет удовлетворять не уравнению (27.02), а уравнению
^ГГ + — dlT +g*Ez = Q, g = VW^h2 , (27.22)
dr2 г dr
как показано в конце § 22. В связи с этим в выражениях (27.06)^ и (27.14) нужно заменить К на g. Однако при выполнении условия I/С I IAI величины К и g практически совпадают. В большинстве случаев это неравенство удовлетворяется благодаря условию (25.01), так как \h\~\k. Поэтому для волн, распространяющихся вдоль длинных линий, можно пользоваться погонным внутренним импедансом Zi, вычисленным выше.
Задачи к гл. VI
1. Вывести формулы (26.14) из соотношения (6.14), примененного ко всему объему проводника с проницаемостями (26.01).
Решение. Ввиду отсутствия сторонних токов соотношение (6.14) принимает вид
= P8-SiO) г;,
где P8 —средняя за период мощность электрических потерь (6.10) в объеме проводника V, a Wfl при ц = Цо совпадает со средней магнитной энергией W^j находящейся в том же объеме [формулы (5.11) и (6.13)].
Величина —Б есть комплексная мощность, втекающая в объем проводника через его поверхность S. Она может быть преобразована к виду
— S = -?- fn [EH*] dS = (fj [пЕ] Н* dS = — -|~cf ? [п [пН]] H*rfS,
Snj оя J 8л J
так что
— S = -т-фйі [пН] I *dS = -L<6 fl 112 dS,
ОЯ " Z0
причем при преобразовании мы использовали формулы (25.04), (26.04) и (26.05). Здесь п, в отличие от § 6, означает нормаль к поверхности проводника S, направленную внутрь проводника. Разделяя в полученном соотношении вещественную и .мнимую части, приходим к формулам (26.14).
2. Вывести соотношение (27.18) для Li в случае постоянного тсжа Jr равномерно заполняющего сечение цилиндрического провода.
4*
99 Решение. Применим формулу ^7Vs = -Tl j izdS
к івкружности r=COnst внутри провода, получаем
4л 4я га 2/ /¦
2л г Hm =-іглг* =-J—г , Hm =--.
ф с ' с а2 ф с а2
Внутренняя магнитная энергия провода на единицу его длины
1 Iа 1
ft7U = -T- f Hlds==-T f rdr =—-Я. ц 8я J ф 4о 4с
Поскольку = -1- > мы приходим к требуемому соотношению.
3. Вывести соотношения (26.14) для провода в общем случае, т. е. не считая скин-эффект сильным.
Решение. Применяя соотношение (6.14) к отрезку провода, имеющему
единичную длину, й учитывая, что «а поперечных сечениях Sz = O, получим для
—2 интеграл
распространенный по баковой поверхности провода; dS = dsdz, где ds — элемент окружности г = а. Интеграл по z дает единицу, поэтому
= н; dr = \ezJ* ZiIZI2,
где J — комплексная амплитуда тока в проводе. Отсюда следуют соотношения (26.14).
Глава V.
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛИННЫХ ЛИНИЙ
§ 28. Классификация линий передачи
