Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вайнштейн Л.А. -> "Электромагнитные волны" -> 44

Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.

Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны — М.: АСТ, 1988. — 440 c.
Скачать (прямая ссылка): elektromagnitnievolni1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 182 >> Следующая


* = / ch I cos г), y = f sh I sin rj,

где ленте ширины 2/ !соответствует значение |=0 (т. е. —f<x<f, (/ = 0), найти распределение заряда на ленте. Воспользоваться формулами § 19 и тем обстоятельством, что поверхностная плотность заряда на проводнике равна — (1|/4я)(5Ф/(Зп, где Ф—'потенциал, удовлетворяющий уравнению Лапласа, а п — направление внешней нормали.

Решение. Образуя дифференциалы dx и dy, легко получить соотношение

dx2 + dy2 = /2 (ch^g—cos2 ті) (d I2 + d rf), откуда видно, что

H = \ = f Vch2S-CosaTb

поэтому уравнение Лапласа записывается в виде

д2 Ф д2 Ф

-+-= 0

ді2 д т)2

и на ленте

д Ф 1 <9Ф 1 дФ

дп = H dl" VF=I2 д I '

Поскольку на ленте должно выполняться условие Ф = Const1 потенциал Ф может зависеть только от из уравнения Лапласа следует, что Ф = С? + С', где С л С'—постоянные. Отсюда видно, что поверхностная плотность заряда на ленте (с обеих сторон) равна ?/я"]//2—

3. Используя решение предыдущей задачи, найти потенциал ленты на больших расстояниях от нее. Сравнить с потенциалам кругового провода радиуса а, несущего тот же погонный заряд q. Очитать, что на ленте и проводе Ф = 0.

108 Решение. Для ленты надо взять Ф = С1 = ~2q\. При формулы,

связывающие декартовы координаты с эллиптическими, принимают вид

X = г cos "Л, (/ = Z-Sinri, r = (f/2)f&, |=ln (2а//), где г — расстояние от середины ленты. Поэтому при

Ф = —2q In (2л//), в то время как для кругового цилиндра (см. § 32) Ф = —2q In[rla).

Таким образом, при f = 2a потенциал ленты вдали от нее такой же, как потенциал кругового цилиндра.

Глава VI.

ТЕЛЕГРАФНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 30. Основные свойства ,телеграфных уравнений

Передающие линии первой группы рассчитывают обычно с помощью телеграфных уравнений. Здесь будут приведены основные понятия, относящиеся к телеграфным уравнениям.

Электромагнитное поле в телеграфных уравнениях явно не фигурирует, а вместо него для каждого поперечного сечения z данной линии передачи в каждый момент t вводятся две величины — напряжение U=U(z, t) и ток J = J (z, t). Каждый однородный отрезок линии передачи характеризуется четырьмя параметрами: R — погонное сопротивление линии; L — погонная индуктивность линии; С — погонная емкость линии; G —¦ погонный коэффициент утечки.

Напряжение и ток связаны между собой уравнениями в частных производных — телеграфными уравнениями первого порядка:

— ™ =rj + L— ; — д— =GU+С— . (30.01)

dz dt dz dt

Исключая из этих уравнений одну из величин (U или /), для другой величины получаем уравнение в частных производных второго порядка, которое обычно также называется телеграфным уравнением. Это уравнение здесь не выписано (см. задачу 1).

При применении телеграфных уравнений к реальным линиям передачи нужно иметь в виду, что, например, погонное сопротивление линии R вследствие скин-эффекта зависит от частоты, и поэтому его нельзя рассматривать как "константу для волн любой формы. В этом случае необходимо ограничиться рассмотрением монохроматических волн, т. е. колебаний вполне определенной частоты м. Для таких колебаний, как и для монохроматических электромагнитных полей (см. § 2), мы будем применять комплексные обозначения и брать временной множитель е-іаі. Обозначая

109 комплексные амплитуды физических величин (в данном случае напряжения U и тока /) так же, как и сами физические величины, из обычных телеграфных уравнений (30.01) получаем телеграфные уравнения в комплексной форме

— = (R — \а> L) J,--— = (G— і со С) U. (30.02)

dz dz

Здесь производные по г обозначены через d/dz, поскольку комплексные амплитуды суть функции только г.

Найдем общее решение уравнений (30.02). Для этого исключим одну из величин, например /. Дифференцируя первое уравнение (30.02)

_ dIM. = (R — iuL) — = — (R — icoL) (G—icoC) U,

dz2 dz v

приходим ік уравнению

— +h2U = 0, (30.03)

dz2 где-

h2 = — (R—icoL) (G—icoC) = (coL + itf) (иС + iG). (30.04)

Обозначая через

h= V(O) L+і R) (coC + iG) (30.05)

корень уравнения (30.04), удовлетворяющий условию Im/г>-0, получим общее решение уравнения (30.03) в виде

U = Aeihz + Be-ihz (30.06)

и, подставляя это выражение в первое уравнение (30.02), найдем ток

J=-(Aeihz-Be^ihz), (30.07) Z

где

z= coL + ifl = AoL + i* (30 08

h у coC+iG

называется волновым импедансом линии.

Величина h, определяемая формулой (30.05), называется комплексным волновым числом. Формулы (30.06) и (30.07) показывают, что общее решение телеграфных уравнений для любого однородного отрезка линии передачи равно сумме двух бегущих волн с произвольными комплексными амплитудами: одна волна бежит в положительном направлении (слагаемые, пропорциональные е1Лг), а другая — в отрицательном направлении (слагаемые, пропорциональные e~'hz).

Если имеется только одна бегущая волна, распространяющаяся в положительном направлении, то B = 0 и Ufj = Z. В случае 110 волны, бегущей в отрицательном направлении, UU = -Z. Таким образом, волновой импеданс определяет отношение напряжения к току в «чистой» бегущей волне.
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 182 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed