Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
* = / ch I cos г), y = f sh I sin rj,
где ленте ширины 2/ !соответствует значение |=0 (т. е. —f<x<f, (/ = 0), найти распределение заряда на ленте. Воспользоваться формулами § 19 и тем обстоятельством, что поверхностная плотность заряда на проводнике равна — (1|/4я)(5Ф/(Зп, где Ф—'потенциал, удовлетворяющий уравнению Лапласа, а п — направление внешней нормали.
Решение. Образуя дифференциалы dx и dy, легко получить соотношение
dx2 + dy2 = /2 (ch^g—cos2 ті) (d I2 + d rf), откуда видно, что
H = \ = f Vch2S-CosaTb
поэтому уравнение Лапласа записывается в виде
д2 Ф д2 Ф
-+-= 0
ді2 д т)2
и на ленте
д Ф 1 <9Ф 1 дФ
дп = H dl" VF=I2 д I '
Поскольку на ленте должно выполняться условие Ф = Const1 потенциал Ф может зависеть только от из уравнения Лапласа следует, что Ф = С? + С', где С л С'—постоянные. Отсюда видно, что поверхностная плотность заряда на ленте (с обеих сторон) равна ?/я"]//2—
3. Используя решение предыдущей задачи, найти потенциал ленты на больших расстояниях от нее. Сравнить с потенциалам кругового провода радиуса а, несущего тот же погонный заряд q. Очитать, что на ленте и проводе Ф = 0.
108Решение. Для ленты надо взять Ф = С1 = ~2q\. При формулы,
связывающие декартовы координаты с эллиптическими, принимают вид
X = г cos "Л, (/ = Z-Sinri, r = (f/2)f&, |=ln (2а//), где г — расстояние от середины ленты. Поэтому при
Ф = —2q In (2л//), в то время как для кругового цилиндра (см. § 32) Ф = —2q In[rla).
Таким образом, при f = 2a потенциал ленты вдали от нее такой же, как потенциал кругового цилиндра.
Глава VI.
ТЕЛЕГРАФНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 30. Основные свойства ,телеграфных уравнений
Передающие линии первой группы рассчитывают обычно с помощью телеграфных уравнений. Здесь будут приведены основные понятия, относящиеся к телеграфным уравнениям.
Электромагнитное поле в телеграфных уравнениях явно не фигурирует, а вместо него для каждого поперечного сечения z данной линии передачи в каждый момент t вводятся две величины — напряжение U=U(z, t) и ток J = J (z, t). Каждый однородный отрезок линии передачи характеризуется четырьмя параметрами: R — погонное сопротивление линии; L — погонная индуктивность линии; С — погонная емкость линии; G —¦ погонный коэффициент утечки.
Напряжение и ток связаны между собой уравнениями в частных производных — телеграфными уравнениями первого порядка:
— ™ =rj + L— ; — д— =GU+С— . (30.01)
dz dt dz dt
Исключая из этих уравнений одну из величин (U или /), для другой величины получаем уравнение в частных производных второго порядка, которое обычно также называется телеграфным уравнением. Это уравнение здесь не выписано (см. задачу 1).
При применении телеграфных уравнений к реальным линиям передачи нужно иметь в виду, что, например, погонное сопротивление линии R вследствие скин-эффекта зависит от частоты, и поэтому его нельзя рассматривать как "константу для волн любой формы. В этом случае необходимо ограничиться рассмотрением монохроматических волн, т. е. колебаний вполне определенной частоты м. Для таких колебаний, как и для монохроматических электромагнитных полей (см. § 2), мы будем применять комплексные обозначения и брать временной множитель е-іаі. Обозначая
109комплексные амплитуды физических величин (в данном случае напряжения U и тока /) так же, как и сами физические величины, из обычных телеграфных уравнений (30.01) получаем телеграфные уравнения в комплексной форме
— = (R — \а> L) J,--— = (G— і со С) U. (30.02)
dz dz
Здесь производные по г обозначены через d/dz, поскольку комплексные амплитуды суть функции только г.
Найдем общее решение уравнений (30.02). Для этого исключим одну из величин, например /. Дифференцируя первое уравнение (30.02)
_ dIM. = (R — iuL) — = — (R — icoL) (G—icoC) U,
dz2 dz v
приходим ік уравнению
— +h2U = 0, (30.03)
dz2 где-
h2 = — (R—icoL) (G—icoC) = (coL + itf) (иС + iG). (30.04)
Обозначая через
h= V(O) L+і R) (coC + iG) (30.05)
корень уравнения (30.04), удовлетворяющий условию Im/г>-0, получим общее решение уравнения (30.03) в виде
U = Aeihz + Be-ihz (30.06)
и, подставляя это выражение в первое уравнение (30.02), найдем ток
J=-(Aeihz-Be^ihz), (30.07) Z
где
z= coL + ifl = AoL + i* (30 08
h у coC+iG
называется волновым импедансом линии.
Величина h, определяемая формулой (30.05), называется комплексным волновым числом. Формулы (30.06) и (30.07) показывают, что общее решение телеграфных уравнений для любого однородного отрезка линии передачи равно сумме двух бегущих волн с произвольными комплексными амплитудами: одна волна бежит в положительном направлении (слагаемые, пропорциональные е1Лг), а другая — в отрицательном направлении (слагаемые, пропорциональные e~'hz).
Если имеется только одна бегущая волна, распространяющаяся в положительном направлении, то B = 0 и Ufj = Z. В случае 110волны, бегущей в отрицательном направлении, UU = -Z. Таким образом, волновой импеданс определяет отношение напряжения к току в «чистой» бегущей волне.