Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку магнитное поле пропорционально создающему его току,
W = LeJ, (31.10)
где коэффициент пропорциональности Le, зависящий от геометрической формы и размеров линии в поперечном сечении и магнитной проницаемости среды между проводами, называется погонной внешней 'индуктивностью линии, таїк 'каїк он определяет машинный поток, проходящий целиком вне проводов.
из Сочетание формул (31.09) и (31.10) приводит к первому телеграфному уравнению (30.02). Действительно, для монохроматических колебаний получается уравнение
— — =(R-IOiL) J, L = Le+ Li, (31.11)
dz
в котором погонное сопротивление R и погонная индуктивность L линии определяются формулами (31.05), (31.10) и (31.11).
Заметим, что в силу формулы (31.05) сопротивление и внутренняя индуктивность линии на единицу длины складываются из соответствующих величин, вычисленных для каждого провода в отдельности, как и при последовательном соединении сопротивлений. Это объясняется тем, что в электрическом отношении провода линии передачи включены последовательно. Действительно, представим -себе, что справа на рис. 22 к проводам линии присоединена некоторая нагрузка; ток /, идущий по проводу 1, проходит через нагрузку и возвращается обратно в виде тока —/ по проводу 2.
Для вывода второго телеграфного уравнения будем исходить из уравнения непрерывности (1.01) в интегральной форме, т. е. из закона сохранения заряда
\ pdV+ § jndS = 0 (31.12)
Ol V S
и применим его к отрезку г, z + dz провода 1 (рис. 23). Интеграл
Jp dV=qdz (31.13)
V
определяет заряд на этом отрезке провода и поэтому равен погонной плотности заряда q на проводе 1, умноженной на dz (погонная плотность на проводе 2 равна, очевидно, —q). Поверхностный интеграл в формуле (31.12) может быть разложен на сумму интегралов по поперечным сечениям z и z+dz провода 1
J jndS=J (z + dz) = J(z) + Ц- dz (jn = jz),
(z+dz) OZ
J jndS=-J(z) (jn=-j2) (31.14)
(2)
и на интеграл по боковой поверхности провода S0 на том же участке (z, z+dz). Обозначая через 0о проводимость среды между проводами, а через ео ее диэлектрическую постоянную, получаем
j jndS = O0 J EndS = f Dn dS. (31.15)
S0 S0 Bq S0
114 Последний интеграл можно преобразовать к виду j DndS = §DndS- J DndS- J DndS =
S0 S (г) (z+rfz)
= 4яqdz — —J jndS = 4nqdz —
Ol (2) CT1 (г+гіг)
— (ei/аі) [/(2 + dz) —J (г)], (31.16)
причем через ei и Oj обозначены диэлектрическая постоянная и проводимость провода 1 и использована теорема Гаусса. Таким путем приходим к уравнению
(І_?і?!Л + ^ q = 0t (31.17)
dt \ S0O1J dz е0
которое в силу условия uo<?Cai (проводимость среды гораздо меньше, чем у проводов) практически сводится к уравнению
dz dt е0
или в комплексных обозначениях
dJ /Anaa \ / о і і п\
-1 со ) q. (31.19)
dz \ е0 /
Если сделать далее предположение о локальном характере электрического поля, т. е. предположить, что электрическое поле в данном поперечном сечении г=const определяется исключительно погонной плотностью заряда q в том же сечении и не зависит от токов и зарядов, имеющихся в других участках линии, то отсюда вытекает, что погонная плотность заряда q и напряжение U в той же точке линии должны быть связаны соотношением
q = CU, (31.20)
где коэффициент пропорциональности С называется погонной емкостью линии. Если ввести величину G по формуле
G = 4ясгоС7єо, (31.21)
то окончательно уравнение (31.19) примет вид
_ d±. = (G_ іо)С)?/, (31.22)
dz
т. е. совпадает со вторым телеграфным уравнением (30.02). При этом коэффициент G (коэффициент погонной утечки) оказывается пропорциональным погонной емкости С и проводимости среды а о.
Таким образом, для вывода телеграфных уравнений одних законов электродинамики недостаточно и к ним приходится прибавлять предположения о локальном характере магнитного и электрического полей. Эти предположения позволили характеризовать свойства линии с помощью таких величин, как емкость и индуктивность, строго применимых лишь для полей, постоянных во
115 времени. Поэтому естественно думать, что телеграфные уравнения применимы лишь для достаточно медленных колебаний, т. е. при достаточно низких частотах. В § 35 подробно рассмотрены пределы применимости телеграфных уравнений и показано, что это действительно так.
§ 32. Расчет параметров длинных линий
В этом параграфе выведем формулы для расчета параметров коаксиальной и двухпроводной линий. Начнем с погонной емкости С и погонной внешней индуктивности Le, определяемых формулами (31.20) и (31.10). Эти формулы базируются на предположениях о локальном характере электрического и магнитного полей, введенных в § 31 без надлежащего обоснования. Однако ясно, что для бесконечно длинной линии, провода которой несут постоянный ток или заряжены статическим электричеством, эти формулы являются вполне точными, поэтому предположение о локальном характере поля удовлетворяется автоматически. Действительно, в статических условиях заряд распределяется равномерно вдоль проводов линии, так что создаваемое им электрическое поле в любом поперечном сечении системы одно и то лее: оно пропорционально погонной плотности зарядов на проводах, постоянной по длине линии. Аналогично стационарный ток постоянен по длине провода, вследствие чего магнитное поле в любом поперечном сечении одинаково и пропорционально силе тока /.
