Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Погонная внешняя индуктивность двухпроводной линии удовлетворяет 'соотношению (30.10) и легко может быть найдена из этого соотношения (см. также задачу 2).
Что касается волнового импеданса идеально проводящей коаксиальной или двухпроводной линии, то он легко вычисляется по-второй формуле (30.09) или по формуле (30.11). С учетом соотношения (30.12) для коаксиальной линии получаем волновое сопротивление, Ом
Z = 601n(6/a), (32.19)
а для двухпроводной линии
Z= 1201n(o/a). (32.20)
Эти формулы справедливы, если электромагнитное поле линии расположено в пустоте. Если же пространство заполнено веществом с проницаемостями є и [л, то погонная емкость С умножается на є, погонная индуктивность Le — на [л, а волновое сопротивление приобретает множитель
Согласно формулам (31.05) величины R и Li для линии складываются из соответствующих величин для каждого провода, а они были вычислены в теории склин-эффекта (гл. IV). В случае сильного скин-эффекта для коаксиальной линии получаем простые формулы
Rl = OiLiil=I^naaidu R2 = CoLi,2=!1/2яЬст2^2, (32.21)
где индекс 1 относится к внутреннему, а индекс 2 — к внешнему проводнику коаксиальной линии. Первую формулу (32.21) можно применять и к каждому из проводов двухпроводной линии. Если провода, как это предполагалось выше, одинаковы, то для линии
R = 2Ru Li = 2Li>u (32.22)
121 В этой формуле не учтен эффект близости, и она применима поэтому лишь при условии Заметим, что из-за эффекта близости внутреннее сопротивление линии увеличивается, так как появляется дополнительная неравномерность в распределении тока; при а<СЬ эта неравномерность мала, поскольку поле, действующее на данный провод со стороны другого, мало по сравнению с собственным полем провода.
Что же касается коэффициента G, то он для любой линии передачи вычисляется по формуле (31.21).
§ 33*. Энергетический смысл параметров длинных линий
В теории цепей средние значения электрической и магнитной энергий при гармонических колебаниях определяются формулами
Wz= -L C\U\\ = -L L\J\\ (33.01)
где U — напряжение между обкладками конденсатора с емкостью С\ J — ток в катушке с индуктивностью L. Эти же формулы дают погонную электрическую и магнитную энергии в длинной линии, если в качестве ChL взять введенные выше погонные параметры линии, а под UnJ понимать комплексные амплитуды напряжения и тока в данном отрезке линии. При этом погонная индуктивность L определяется второй формулой (31.11), и соответственно логонная магнитная энергия является суммой внешней и внутренней энергий; последняя была исследована еще в теории скин-эффекта (см. § 26 и 27).
Потери в цепи обусловливаются, во-первых, омическим сопротивлением R, во-вторых, утечкой в конденсаторе. Обозначим среднюю мощность омических потерь через Pi, а потерь в конденсаторе •через P2; тогда
Pi= \ R И2. Pi= -j- G\U\\ (33.02)
где коэффициент G связан с емкостью конденсатора С и параметрами Oo и єо заполняющего его вещества формулой (31.21). Те же формулы дают погонные потери в длинной линии, если под R и О понимать соответствующие погонные параметры этой линии.
Данное выше толкование формул (33.01) и (33.02) базируется, во-первых, на теории скин-эффекта (§ 26 и 27), в которой подробно рассмотрен энергетический смысл Li и R, и, во-вторых, на предположении, что поле в пространстве между проводами распределено по квазистатическим законам. Последнее предположение служит основой для вычисления параметров Le, С и G (см. -§ 32) и будет дополнительно рассмотрено в § 35. Здесь заметим лишь, что для волны в идеально проводящей линии это предположение выполняется точно (см. § 29), а при конечной проводимости линии — приближенно (см. § 35).
320 Таким образом, среднее значение электромагнитной энергии в линии на единицу ее длины
W=We+ W11 = -L (C|[/|2 + L|J|2), (33.03)
а среднее значение мощности потерь на единицу длины линии P = -L (G\U\2 + R |/|2). (33.04)
Выведем теперь из телеграфных уравнений (30.03) и (30.04) соотношение, аналогичное теореме о комплексной мощности (§ 6). Для этого умножим первое уравнение (30.02) на /*, уравнение
_ =(G + i&C)U%
dz
компленсно-сопряжениое второму уравнению (30.02), на U, и результаты сложим. Полученное соотношение
— — {UJ*) = G\U\* + R\J\*+iti>(C \U\2 — L\J\*) (33.05)
dz
можно переписать, используя формулы (33.01) и (33.04), в виде -IiL =p + 2ico(We—WJ1 (33.06)
dz
где введено обозначение
2 = -L UJ*. (33.07)
Правая часть соотношения (33.06) имеет ту же структуру, что и в соотношении (6.14). Поскольку мы для простоты считаем, что для данной системы справедливы простые материальные условия § 1, то в соотношении (33.05) фигурируют не вспомогательные величины We и Wil (см. § 9), а средние значения погонных энергий We и Wtl. Более того, можно соотношение (33.06) получить непосредственно из соотношения (6.10), если последнее переписать в виде
— div<s = p + 2icu Wll), (33.08)
учитывая отсутствие сторонних токов, и затем проинтегрировать по поперечному сечению. Интегралы
