Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
AEz +K2Ez = O, (27.01)
из-за отсутствия зависимости от ф и z сводится к уравнению
*Jk + J-dJhL+WEz-=O, (27 02)
vdr2 т dr
являющемуся частной формой уравнения (22.03) при т = 0. Предполагая, что материал провода является хорошим проводником, не имеющим магнитных потерь, в соответствии с формулой (12.06) можем брать комплексное волновое число в проводнике в виде
K=(T + i)ld, (27.03)
где d — толщина скин-слоя, определяемая формулой (26.08).
В качестве решения уравнения (27.02) нужно взять функцию Бесселя J0(Kr), т. е. положить
Ez = Ch(Kr). (27.04)
В выражении для Ez не может присутствовать слагаемое CN0(Kr), так каїк это привело бы к бесконечно большим значениям поля и тока в центре провода (при г = 0), что недопустимо из физических соображений.
Формула (27.04) уже дает картину распределения переменного тока в проводе. В самом деле, распределение тока (и поля) по поперечнему сечению провода характеризуется функцией
f(r)=Ez(r)!Ez(a)= и (г)Цг(а), (27.05)
обращающейся в единицу на поверхности провода, при г = а. Согласно формуле (27.04)
f (г) =J0(Kr)Ih(Ka) (27.06)
и характер распределения тока по поперечному сечению провода определяется произведением Ka, т. е. согласно формуле (27.03) отношением радиуса провода а к толщине скин-слоя d. Для данного проводника толщина скин-слоя d зависит от длины волны. Для постоянного тока (со=0, Х = оо) имеем d=oo, вследствие чего аргументы функций Jo(Kr) и J0(Ka) равны нулю и f(r) = l. При
95 увеличении частоты толщина скин-слоя d уменьшается и пір« небольших отношениях ajd абсолютная величина функции f(r) мало отличается от единицы (кривые a/d = 0,5 и a/d= 1 на рис. 15): центральная часть проводника несет несколько меньшую плотность тока, чем его периферийная часть. При увеличении отношения ajd распределение тока становится все более неравномерным, и при больших значениях ajd абсолютная величина функции f(r) быстро спадает при удалении от поверхности провода. Если скин-эффект сильный, то функции Бесселя Jo(Ka) и J0(Kr) (при г~а) можно вычислить по формуле (22.07), пригодной и для комплексных х; при 1тх^>1 эта формула может быть записана в виде
(27.07)
Рис. 15. Распределение тока в цилиндрическом проводе
J0 (jt)= Є-НХ-ЯЦ)/У2Itxi
так как
cos <х — л/4) = [е*(*-я/4) +е-'<*-я/4>]/2 « е-Чх-л/4)/2_
Подставляя выражение (27.07) в формулу (27.06), получаем
/ (г) = Y^fr е'*<«-'> « е'К<°-г\ (27.08)
поскольку функция f(r) отлична от нуля практически лишь при г ж а. Отсюда
|^(г)|=е-(»-т>/", (27.09)
при d<C? ток сосредоточивается в тонком слое у поверхности провода (рис. 15, кривая a/d=7).
Пользуясь формулой (27.04), нетрудно вычислить с помощью определения (26.21) погонный импеданс провода Zi. Для этого нужно вычислить полный ток J, соответствующий распределению поля в проводе по формуле (27.04). Так как плотность тока jz связана с Ez соотношением
j Z = GE2,
то полный ток может быть найден в виде интеграла
J= f jz dS = 2 no j Ez г dr.
о
Пользуясь уравнением (27.02), можно написать
(27.10)
(27.11)
E,= -
1 Zd2Ez
K2
dr2
+
d Ez
dr
96 Ki \ dr2 dr 1 K2 dr V dr j
и, подставляя последнее выражение в формулу (27.11), получаем
/=_2яа °_d_ ( ЛЕЛ dr=_2noa СГ (Ка) (27.12)
К* 0} dr у dr ) К 0 '
С помощью первого соотношения (22І13) можно также написать
J =(2паа/К) CJl(Ka). (27.13)
Погонный импеданс Zi получается в виде
Z = Ez ^ = К (27 14).
J 2яаа J1 (Ka)
Вводя погонное сопротивление провода на постоянном токе
Ro=Hnaa2, (27.15);
можно придать формуле (27.14) следующий вид:
ZijRo = XJo(X)Wl(X), X=Ka= (\+\)ajd. (27.16)
Если скин-эффект выражен слабо, т. е. если a/d^l, то вследствие малости аргумента х можно пользоваться разложениями (22.06). В этом случае формула (27.16) принимает вид
ZijRo = 1 —X2 j8 = 1 —k2a2z/8, (27.17)
откуда, полагая, как в формуле (26J13), Zi = R—iceLi, получаем
R = R0, Li=XjcIc2, (27.18)
если проводник имеет параметры (26.01); при вещественном погонную внутреннюю индуктивность Li нужно умножить на
Таким образом, при достаточно низких частотах, когда скин-эффект выражен слабо, активное сопротивление провода практически равно его сопротивлению на постоянном токе. Его внутреннюю индуктивность, как легко показать, можно вычислить из элементарных соображений, принимая равномерное распределение постоянного тока внутри провода и вычисляя вызванное им внутри провода магнитное поле (см. задачу 2).
В случае сильного скин-эффекта, когда отношение aid велико, для функции J0(x) может быть применено приближенное выражение (27.07), а для функции Ji(x) — аналогичное выражение
J1 (х) = е-н*-зя/4) ! у2пх . (27.19) откуда
— = — і — Z = 1 ' (27 201
R0 2 ' 1 2яaod ' 4 " '
Таким образом, при сильном скин-эффекте получается выра:-жевие (26.13) для погонного импеданса, выведенное выше из других соображений. Этому, разумеется, не следует удивляться; так как в случае сильного скин-эффекта распределение тока и1 поля 4—24 0 97 Рис. 17. Поток энергии к потребляющему участку цепи
