Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривая электростатическое поле в бесконечной коаксиальной линии (кабеле), легко видеть, что получаем обычный цилиндрический конденсатор (рис. 24). Электрическое поле в таком конденсаторе имеет только радиальную составляющую
Er = 2q/r. (32.01)
Это выражение проще всего вывести, если применить теорему Гаусса к цилиндру, коаксиальному с конденсатором и имеющему единичную длину по оси г. Эта теорема дает соотношение
§ETds = 4nq, (32.02)
если между обкладками 'конденсатора — пустота и !радиус цилиндра г лежит в интервале a<.r<b. Поскольку
§ Er ds = 2 л г Erl (32.03)
получаем выражение (32.01). Вычисляя напряжение между внутренним проводником 1 и внешним проводником 2, имеем
U = J ?г dr = 2<7 In — , (32.04)
а а
где а — радиус внутреннего провода, b — радиус оболочки коаксиальной линии.
116 Рис. 24. Коаксиальная линия
Рис. 25. Двухпроводная линия
Сравнивая выражение (32.04) с формулой (31.23), видим, что погонная емкость коаксиальной линии
C= 1/2 In (Ь/а). (32.05)
Если коаксиальная линия заполнена диэлектриком, имеющим диэлектрическую постоянную во, то из тех же рассуждений получаем
C = во/2 In (Ь/а). (32.06)
Для вычисления погонной внешней индуктивности коаксиальной линии нужно считать, что по проводнику 1 течет постоянный ток /, а по проводнику 2 течет ток —/. В этом случае магнитное поле будет отлично от нуля только в пространстве а<г<Ь, так как при r>-b, т. е. во внешнем пространстве, магнитные поля проводников 1 я 2 будут взаимно уничтожаться. Магнитное поле данной системы будет иметь только составляющую
Яф = 2//сг. (32.07)
Действительно, применяя соотношение
ф Hnds=— J (32.08)
J с
к любой окружности г = const, сразу получаем формулу (32.07).
Вычисляя погонный магнитный поток 1F по формуле (31.08), получаем
Y= — ^ Hydr= — In — (32.09)
Ca с2 а
для магнитного поля в пустоте. Сравнивая соотношение (32.09) с соотношением (31.10), получаем
Le = (2/с2)1п(Ь/а). (32.10)
Если коаксиальная линия заполнена магнетиком с магнитной проницаемостью то формула (32.10) приобретает вид
Le= (2цо/с2)1п(Ь/а). (32.11)
Выражения (32.05) и (32.10) удовлетворяют соотношению
LeC=IIc2, (32.12)
117 благодаря которому при отсутствии потерь в проводах, т. е. при идеальной проводимости их, волны вдоль линии согласно формуле (30.09) 'распространяются со скоростью с. Этот важный результат был получен с помощью телеграфных уравнений исторически раньше, чем была создана теория электромагнитных волн в свободном пространстве. С точки зрения электродинамической теории длинных линий, изложенной в § 29, этот результат очевиден.
Если считать провода линии по-прежнему идеально проводящими и подставить в формулу (30.09) выражения (32.06) и (32.11), то получим волновое число h = kVzоро в соответствии с результатами § 29.
Переходя к расчету погонной емкости двухпроводной линии, состоящей из двух параллельных проводов радиуса а, центры которых отстоят на расстоянии b друг от друга (рис. 25), мы ограничимся приближенным рассмотрением этой системы при условии а/&<С 1, т. е. когда радиус проводов значительно меньше расстояния между ними. В этом случае, обозначая через q погонный заряд провода 1 и через —q погонный заряд провода 2, мы можем вычислять электрическое поле каждого провода так, как если бы другой провод отсутствовал. В частности, для поля провода 1 можно в этом случае пользоваться формулой (32.01), где г обозначает радиус-вектор, проведенный от оси провода 1, а поле провода 2 можно вычислять по формуле
?,..<2> = -2<7/Г', (32.13)
где г' обозначает расстояние от оси провода 2. Так как на отрезке прямой, соединяющей центры обоих проводов в данном поперечном сечении 2=const, направление отсчета г' противоположно направлению отсчета г (Er^ = -—?/2))> то на эт°й линии можно окончательно написать выражение для составляющей Er полного поля:
Er= Ъ- + h. . (32.14)
г г'
Так как напряжение между проводами
U=b~f Erdr, (32.15)
а
то согласно формуле (32.16)
U=Y (2JL^JL) dr = 2qb7 L.~2q] (32.16)
І \ Г T' ) > г ьіа г а
причем в последнем выражении в силу условия а<^Ь вместо b—а можно написать просто Ь. Отсюда видно, что погонная емкость двухпроводной линии
C= 1/4 In (ft/a). (32.17)
Эта формула — приближенная. С помощью метода конформных 118 отображений данную электростатическую задачу можно решить точно, и в результате получается формула
C = 1/4 In [b/2a + Y(b/2a)2— 1],
(32.18)
Рис. 26. Эффект близости в двух-переходящая в формулу (32.17) проводной линии при b/a^> 1.
При выводе формулы (32.18) принимается во внимание так называемый эффект близости, заключающийся в том, что благодаря взаимодействию проводов распределение зарядов (и токов) по их окружности становится неравномерным. На рис. 26 показано, как благодаря притяжению разноименных зарядов они скапливаются на одной стороне проводов. При условии b/a^> 1 этот эффект выражен слабо, благодаря чему погонную емкость системы можно рассчитать, исходя из предположения о симметричном распределении заряда на поверхности каждого провода.
