Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Малые движения материальных систем, такие как колебания рессор, мостов и т. п., выражаются уравнениями того же вида, как и предыдущие, и обнаруживают поэтому явления, аналогичные тем, которые мы здесь
х — х0 cos kt -j-
170 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
ра:сматривали. В частности, явление резонанса может в некоторых случаях иметь опасные последствия. Примером служат цепные мосты.
§ 10. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТЫ ВОКРУГ СОЛНЦА
140. Уравнения движения. Интегралы площадей и живой силы. — Пусть требуется определить движение точки Р (планета), притягиваемой к неподвижному центру F (Солнце) силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.
Так: как сила центральная, то траектория будет плоской, и плоскость ее будет содержать центр F. Рассмотрим систему полярных координат в этой плоскости с полюсом в центре F. Пусть г—радиус-вектор FP и 6 —угол, образуемый им с полярной осью Fx. Требуется определить г и 0 как функции от t, для чего необходимы два уравнения. Эти уравнения даются интегралом площадей и интегралом живой силы.
Пусть С есть постоянная площадей; тогда интеграл площадей запишется;
0)
Найдем теперь интеграл живой силы.
Пусть Fx будет ускоряющаяся сила (т. е. сила, отнесенная к единице массы) для точки Р; мы можем положить
1
г-
где |1 есть коэффициент пропорциональности, один и тот же для всех планет; этот коэффициент положителен, так как сила притягивающая. Тогда сила, действующая на точку, равна
a ri
Глава V. Движение свободной точки
171
Элементарная работа этой силы будет (п° 131)
— Г,dr = — 'X dr = й ^.
* г- г
Поэтому силовая функция равна и интеграл
живой силы принимает вид:
mv2 пш , ,
—2~ = —р- const.
Это уравнение можно написать в следующей форме:
»2 Ц:- • a. t2>
где h ест!> постоянная живых сил, имеющая значение
A = V-J(3)
141. Определение траектории. — Для определения движения нужно проинтегрировать уравнения (1) и (2). Мы начнем с определения траектории точки Р. Для этого нужно из уравнений (1) и (2) исключить t. Заменяя в уравнении (2) г/2 через
ds1 _ dr2 -j- r!df)2 dt" ~ dt~
и деля почленно на равенство (1), возведенное в квадрат, получим:
dr24- r'd%'1__/ d г ) , 1 _ 1 /2ц . Л
r*dW “ \ rf9 / + ,.г сАг ' )¦
Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение траектории. Оно может быть написано в виде:
172 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Левая часть положительна, поэтому правая часть тоже должна быть положительна, и мы можем вместо г ввести новую переменную р, определяемую соотношением
Будем считать радикал в правой части положительным, тогда р может иметь любой знак. Дифференциальное уравнение после этого приведется к виду:
Заменяя р этим значением в написанном выше соотношении, получим уравнение трбектории в полярных координатах:
7" = *^2 + + ^2 ‘ cos (0—а). (4)
Это — фокальное уравнение конического сечения. Таким образом, траектория есть коническое сечение, в одном из фокусов которого находится центр притяжения F. В этом заключается первый закон Кеплера.
142. Определение параметров траектории. — Посмотрим, как параметры получившегося конического сечения, в частности его параметр р и эксцентриситет е, связаны с начальными данными движения. Сравним для этого уравнение (4) траектории с фокальным уравнением, в которое эти параметры конического сечения входят в явном виде:
Отсюда:
0 — а — Ц1 arc cos р, р = cos (0 — а).
1'лава V. Движение свободной точки
178
из сравнения заключаем:
отсюда
(5)
(6)
Выражение для эксцентриситета позволяет определить вид конического сечения; мы имеем эллипс, параболу или гиперболу, смотря по тому, будет ли е<1, = 1 или>1. Таким образом, вид конического сечения зависит лишь от знака постоянной живых сил h'.ono представляет собой эллипс, если h < О, параболу, — если h = 0, и гиперболу, — если h > 0.
Постоянная h, определяемая уравнением (3), зависит от начального положения и от величины начальной скорости, но не от ее направления, так как h = v02—2ц:г0. Поэтому вид конического сечения зависит лишь от точки отправления и от абсолютной величины начальной скорости планеты.
Ограничимся теперь случаем эллиптической траектории и определим ее большую ось. Из теории конических сечений имеем:
поэтому на основании формул (5) и (6)
Это соотношение показывает, что длина большой, оси эллиптической орбиты зависит лишь от постоянной h живых сил, следовательно, она зависит лишь от начального положения планеты и от абсолютной величины начальной скорости.
