Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
4 пЧЧ
g— 7i2 •
Таким именно способом было измерено изменение силы тяжести с широтой места на земной поверхности.
153. Замечание. Маятник на одной и двух нитях.—
Если тяжелая точка М подвешена к неподвижной точке О одной нитью, то в действительности она будет двигаться по поверхности сферы с центром О, и движение ее будет представлять собой движение простого маятника лишь в том случае, когда начальная скорость равна нулю (как мы это предполагали) или, при более общей предположении, ле>кит в вертикальной плоскости, проходящей
tлава VI. Движение несвободной точки
189
через О. При всяком другом предположении точка М будет описывать пространственную сферическую кривую, и движение ее будет представлять собой движение сферического маятника, который мы рассмотрим несколько далее.
Чтобы осуществить движение простого маятника при всяких условиях, т. е. чтобы обеспечить движение точки М в вертикальной плоскости, можно подвесить точку на двух нитях одинаковой длины к двум точкам О и О', лежащим на горизонтальной прямой. Такое приспособление вынуждает точку двигаться в вертикальной плоскости, нормальной к отрезку 00' в его середине. По этой именно причине простой маятник называют иногда маятником на двух нитях, в отличие от сферического маятника, который представляет собой маятник на одной нити.
§ 3. ЦИКЛОИДАЛЬНЫЙ МАЯТНИК
154. Движение тяжелой точки по циклоиде. — Циклоидальный маятник представляет собой тяжелую точку, вынужденную двигаться (без трения) по циклоиде. Эта циклоида имеет горизонтальное основание, расположена в вертикальной плоскости и обращена своей вогнутостью кверху; она может быть образована движением точки окружности вертикального круга радиуса а, который катится снизу по неподвижной горизонтальной прямой.
Примем эту неподвижную прямую за ось х (фиг. 29), поместим начало О в точке возврата циклоиды (в которой описывающая циклоиду точка достигает прямой Ох) и
Ш Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
проведем ось г вертикально вниз. Тогда мы будем иметь параметрические уравнения циклоиды в их классической форме
х — а(и — sin и\ г = а(1—cos и),
где и есть угол между подвижным радиусом, идущим из центра катящейся окружности к движущейся точке, и вертикальным диаметром этой окружности.
Из этих уравнений получим:
dx — а (1—cos и) du, dz = as\nudu, ds2 = dx2 -j- dz2 = 2a2 (1 — cos u) du2 = 4a2 sin2 ^ du2,
откуда, отсчитывая s и и в одну и ту же сторону, будем иметь:
ds — 2a sin ~ du.
Будем отсчитывать дугу s от нижней точки циклоиды (где м = я), тогда получим:
: = 2а j" sin “ du — —4а cos ~
Движение точки М (с массой т) по циклоиде определяется ее внутренним уравнением (в проекциях на касательную), имеющим в общем случае вид:
dv г.
mTt=mdi* = Ff
В данном случае Ft есть проекция на касательную веса F = mg, следовательно (так как направление и ориентация веса F и оси Oz совпадают)
Глава VI. Движение несвободной точки
поэтому внутреннее уравнение движения будет в данном случае
dz
dfi~~gds'
Принимая во внимание значения (1г и ds, вычисленные выше, будем иметь:
dz sin и и s
-г- —---------’ COS ?- = —-j—.
ds „ . ч 2 4 а
2 sin —
Дифференциальное уравнение движения получает, таким образом, следующий окончательный вид:
^ _i_ JL s —о dr- ^ 4а
Это линейное уравнение такого же вида, как уравнение, которое определяет движение точки, притягиваемой к неподвижному центру силой, пропорциональной расстоянию (п° 136).
Общий интеграл его будет
s = Л cos (t j/~ -|^ ) -j- ? sin (</-?).
Это равенство и дает уравнение движения в конечной форме.
Предположим, что точка предоставлена действию своего веса в начальном положении s0 без начальной скорости. Для t = 0 будем иметь:
'¦ °«=в/+а=°.
Следовательно, 5 = 0, и уравнение движения приводится к виду
s = *0cos(f
Эта формула показывает, что точка М совершает периодические колебания в ту и другую стороны от нижней
192 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
точки циклоиды. Продолжительность Т половины полного колебания будет:
Она совершенно не зависит от амплитуды s0. Колебания циклоидального маятника оказываются, таким образом, вполне изохронными. Движение, обладающее таким свойством, называют таутохронным.
Следует заметить, что 4а есть радиус кривизны циклоиды в ее нижней точке, что позволяет приравнять Т полу-периоду бесконечно малых колебаний простого маятника.
155. Осуществление циклоидального маятника.—
Гюйгенс, которому мы обязаны предшествующими результатами, осуществил на практике циклоидальный маятник. Известно, что эволюта циклоиды есть циклоида, равная первоначальной и смещенная на длину атг в горизонтальном направлении и на высоту 2а вверх. Центр кривизны циклоиды, представляющей собой эвольвенту, в нижней ее точке находится в точке возврата эволюты, и соответствующий радиус кривизны равен 4а. Поэтому если подвесить тяжелую точку М на нити длиной 4а к точке возврата О' эволюты (фиг. 32) и заставить ее колебаться так, чтобы нить попеременно навертывалась на обе дуги эволюты, оканчивающиеся в точках возврата эвольвенты, то тяжелая точка будет двигаться точно по эвольвенте. Однако конструкция циклоидального маятника оказывается слишком сложной, чтобы представляемые им теоретические преимущества заставили предпочесть его в практических применениях простому маятнику.
