Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Валле-Пуссен Ш.Ж. -> "Лекции по теоретической механике 1" -> 57

Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.

Валле-Пуссен Ш.Ж. Лекции по теоретической механике 1 — М.: Ил, 1948. — 339 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipoteoriticheskoymehanike1948.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 104 >> Следующая


л- = г 1 («), .V = ?2 («), ^ = <р3 (и\

так что положение движущейся точки определяется только значением параметра и. В таком случае достаточно только одного уравнения между и и t, чтобы определить движение,
182 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки

Это единственное уравнение получается на основании теоремы живой силы и не содержит реакции N:

d^~ = Xdx + Ydy -f Zdz, (2)

гак как работа неизвестной нормальной реакции N постоянно равна нулю. Чтобы интегрировать уравнение (2), нужно заменить в нем величины х, у, г и их первые

и вторые дифференциалы, входящие в dv2 |^так как

. о j ( dx- -4- d v2 -t- dz2 \ 1 имеем dv^—dl^--------! ¦-j'- - -П, их значениями, выражен-

ными через и, da и d2u на основании уравнений кривой. Таким путем мы приходим к одному дифференциальному уравнению второго порядка в переменных ни/; интегрируя его, получаем и в зависимости от t и двух произвольных постоянных интегрирования.

Задача упрощается и становится более интересной, если движущая сила (X, Y, Z) имеет силовую функцию со (х, у, г). В этом случае движение определяется интегралом живой силы, который получается интегрированием уравнения (2) и имеет вид:

mv2 = 2'f (х, у, г) -|- h.

Далее нужно выразить х, у, г и dx, dy, dz (содержащиеся в v3) через и и da. Подставляя эти значения в предшествующее уравнение, получаем уравнение первого порядка в переменных и и t. Решение задачи приводится, таким образом, к интегрированию этого уравнения первого порядка. В результате мы должны получить и как функцию от t, постоянной h живых сил и одной новой постоянной интегрирования.

149. Определение нормальной реакции. — Если движение точки известно, то уравнения (1) предшествующего п° непосредственно дают выражения составляющих Ш, \iN, vN нормальной реакции.

Нормальная реакция может быть также определена простым геометрическим построением. Полная сила, дей-
Г лава VI. Движение несвободной точки

183

ствующая на точку, равна геометрической сумме F-f- N движущей силы и реакции; отсюда имеем геометрическое равенство

F-\-N=mj.

Приравниваем проекции обеих частей этого равенства на нормальную плоскость к неподвижной кривой. Обозначая через Fn проекцию f и через jn проекцию j, получим

F п N = m j >1,

откуда следует геометрическое равенство

N== mjn — Fп.

Таким образом, нормальная реакция кривой есть результирующая центростремительной силы mjn (по величине равной mv2: R), направленной по главной нормали к неподвижной кривой, и нормальной составляющей движущей силы, взятой с обратным знаком.

В силу закона равенства действия и противодействия давление, производимое движущейся точкой на неподвижную кривую, равно и противоположно N, т. е. равно Fn — mjw

На основании этого давление движущейся точки на кривую есть результирующая центробежной силы (п° 119) и нормальной составляющей движущей силы.

Реакция неподвижной кривой и давление точки на кривую могут быть определены a priori для каждой точки на кривой, если известна скорость, которой будет обладать движущаяся точка, проходя через эту точку кривой, так как jn=3inv2:R. Это будет в случае существования интеграла живой силы, так как этот интеграл выражает скорость как функцию от положения движущейся точки.

§ 2. ТЕОРИЯ ПРОСТОГО МАЯТНИКА

150. Движение тяжелой точки по вертикальной окружности.— В качестве приложения предшествующей теории рассмотрим движение тяжелой точки М, вынужденной
184 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки

двигаться без трения по вертикальной окружности с центром О и с радиусом I. Движущаяся точка, находящаяся в этих условиях, представляет собой то, что называют простым, или математическим маятником.

Пусть точка М помещена в начальное положение М0 и предоставлена, без начальной скорости, действию одной только силы тяжести.

Примем за ось х горизонтальный диаметр, а за ось г — вертикальный диаметр с ориентацией в сторону действия силы тяжести. Уравнение движения дается интегралом живой силы, т. е. в этом случае теоремой Торичелли'.

1)2 = 2 g{z — z0). (1)

Это уравнение позволяет предвидеть без всякой интеграции, каков будет характер движения. Предположим, что начальное положение М0 не находится на вертикальном диаметре окружности, так что М0 не есть положение равновесия (так как нормальная реакция не прямо противоположна весу). Точка М будет поэтому спускаться вдоль окружности со скоростью, возрастающей вместе с г, до самого нижнего положения у основания вертикального диаметра, где v имеет наибольшее значение. Потом точка начнет годниматься по окружности с другой стороны от вертикального диаметра с убывающей скоростью до того момента, когда она достигнет своей начальной высоты в точке С, где ее скорость обратится в нуль. В этом положении не будет равновесия; точка М будет поэтому двигаться в обратном направлении, пока она не возвратится в свое начальное положение М0, где ее скорость снова обратится в нуль. В этот момент положение будет точно такое же, как в начале движения, поэтому далее весь процесс повторится. Таким образом, точка будет совершать колебательное движение в ту и другую сторону от Вертикали. Так как скорость проходит через одни и те же значения на одних и тех же уровнях, то продолжительность колебаний будет неизменной. Колебательное движение будет поэтому периодическим
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 104 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed