Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Х = X (х, у, z), Y — Y (х, у, z), Z — Z (х, у, z).
Эти формулы определяют то, что называется векторным полем. Если векторы, приложенные в каждой точке поля, представляют собой силы, то предыдущие формулы определяют силовое поле.
Если материальная точка перемещается в пространстве и в каждой точке пространства находится под действием силы, определяемой данным силовым полем, то говорят, что точка движется в этом силовом поле. В этом случае говорят также, что точка находится под действием силы, зависящей от положения, или позиционной силы.
Например, действие Солнца на планету данной массы вполне определяется в каждой точке пространства законом всемирного тяготения: оно зависит лишь от положения планеты. Притяжение Солнца, действующее на планету (в предположении, что планета может занимать любое поло-
Глава V. Движение свободной точки
жение в пространстве), определяет, таким образом, силовое поле, распространенное на все пространство. Когда планета, находясь под действием притяжения Солнца, движется в пространстве, она перемещается, таким образом, в этом силовом поле.
127. Силовая функция. Потенциал. — Предположим, что существует силовое поле, т. е. что проекции X, Y и Z силы F представляют собой функции от координат х, у, z точки приложения этой силы; точка приложения рассматривается при этом как произвольная точка пространства. Весьма важным оказывается тот случай, когда проекции X, Y, Z соответственно равны частным производным по х, у, z o r некоторой функции (р (х, у, z), в которой переменные х, у, z рассматриваются как независимые. В этом случае имеем:
*=&• y-W' 2=Т&- <Ч
Когда выполнены эти условия, функция <р(лг, у, г) называется силовой функцией; в этом случае говорят также, что сила F имеет силовую функцию или потенциал. Потенциал, или потенциальная функция есть силовая функция, взятая с обратным знаком, т. е. —ся(х,у,г).
Когда существует силовая функция, то выражение для элементарной работы силы представляет собой полный дифференциал этой функции. В самом деле, имеем:
Xdx + Ydy -f Zdz = ~д~ dx -f d^dy-\-^dz = d-?. (2)
Обратно, если элементарная работа выражается полным дифференциалом функции <р(х,у, г) трех независимых переменных, то существует силовая функция, и функция эта есть <?(х, у, г).
В самом деле, dx, dy и dz суть так же, как переменные х,у, z, независимые произвольные величины, поэтому уравнение (2) распадается на три уравнения (1).
152
Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
Таким образом, необходимое и достаточное условие для существования силовой функции заключается а том, что выражение для элементарной работы должно быть полным дифференциалом некоторой функции от х, у, г.
Силовая функция определяется силой лишь с точностью до постоянной, так как дифференциал силовой функции и ее производные не изменяются от прибавления к ней произвольной постоянной. При этом в каждом случае эту постоянную можно выбирать так, как это представляется наиболее удобным. Мы будем предполагать во всем дальнейшем, что силовая функция ® (л:, у, г) однозначна, т. е. что она в каждой точке (х, у, г) может принимать лишь одно значение.
Теорема. — Пусть тонка находится под действием нескольких сил Если каждая из них имеет
силовую функцию, то равнодействующая их F также имеет силовую функцию <р, и эта последняя есть сумма функций сра,.. . , относящихся к каждой из составляющих сил.
В самом деле, если имеем
v _ d<pi v _______ дъ_
Л1~дх1' 2 дх%1 * ’ • >
то отсюда следует
V-_ v I v I __________^ (fi + <Р» + • • О d<f
+ ------ 5^ — ~д-х~,
что и доказывает теорему.
128. Основная теорема. — Если сила F обладает однозначной силовой функцией ® (х, у, г) и если точка ее приложения описывает дугу кривой, то работа
силы на этой дуге зависит лишь от концов последней М0 и М1. Она не зависит от вида пути, по которому точка переходит из начального положения М0 в конечное положение Мх.
Рассмотрим параметрическое представление дуги М0Мг и предположим, что точка М описывает эту дугу, когда
Г лава V. Движение свободной точки
153
параметр t (который не обязательно должен быть временем) изменяется от tQ до tL. Так как элементарная работа силы F выражается полным дифференциалом dy, то полная работа имеет вид:
h
® = ! Чг М ? (¦*!* Л* ~ ? ^0* >'*' г^'
и
где индексы 0 и 1 относятся к начальному и конечному положениям М0 и Mt. Следовательно, полная работа силы F равна алгебраическому приращению силовой функции между двумя крайними положениями точки приложения силы.
129. Поверхности уровня. — Предположим, что существует силовая функция; приравнивая ее произвольной постоянной а, получим уравнение семейства поверхностей
ср (х, у, г) = а.
Эти поверхности называются поверхностями уровня. На одной и той же поверхности уровня силовая функция сохраняет постоянное значение. Через каждую точку *0»Уо' 2о проходит поверхность уровня и притом только одна, определяемая уравнением