Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Глава VI. Движение несвободной точки
185
Движение, которое точка должна совершить, чтобы перейти из начального положения М0 в симметричное, положение С и возвратиться оттуда в начальное положение-представляет собой полное колебание маятника. Продолжительность этого движения, которую мы будем обозначать через 2Т, называется периодом полного колебания. Найдем половину Т периода, т. е. время, необходимое для перехода из положения М0 в симметричное положение. Этот промежуток равен удвоенному времени, необходимому для того, чтобы точка поднялась из самого низкого положения В до своего начального уровня С.
Пусть 0 есть угол между движущимся рациусом ОМ и вертикальным диаметром ОВ, считаемый положительным по направлению к ОС; пусть а — наибольшее значение О-при котором ОМ совпадает с ОС, т. е. начальное отклонение. Тогда имеем:
го г d9
r — l cos 9, v=>
Интеграл живых сил получает вид:
/а (чтУ = 2?l(cos 9 —cos а) •
откуда следует:
_____
" *? У COS 9 —COS а
Знак-{-нужно брать в том случае, когда dt и d0 имеют одинаковые знаки, т. е. когда при возрастании t возрастает и 0, что имеет место при движении из М0 в С. Знак — нужно брать, когда 0 убывает при возрастании t, что имеет место при движении в обратную сторону. Рассмотрим движение от В к С; мы должны при этом взять знак . В этой фазе движения t возрастает
на у, и 9 изменяется от 0 до а. Поэтому, интегрируя
186 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
предыдущее уравнение для этой фазы движения, получим :
Т-
Г_*!______Г............
У gjycos0-cosa V g J ^s.n2a Я
О о г I I
так как можно написать
cos 0 — cos a = (1 — cos a) — (1 — cos 0) =
= 2 sin2 — 2 sin2 ~ .
Положим для упрощения
a . .0 . .
sin = k, sin ~2~ = h sin '-p,
тогда
j/~sin2 — sin2 = A — siny,5 = k cos ®,
6 = 2 arc sin (A sin «),
^____ 2k cos ydy
У i ---?2 Sin2 tf
Выполняя эти подстановки, получим
1C
2
T = 2\f — | (h........
' g J Y1 — A2sin"<p ¦
Интеграл, входящий в формулу (2), называется полным эллиптическим интегралом. Он не может быть выражен в конечной форме при помощи элементарных функций; существуют таблицы, которые дают его значения для различных значений параметра А2. Если угол а очень мал, т. е. если амплитуда колебаний незначительна, то можно легко получить приближенное значение интеграла. Заметим,
Глава VI. Движение несвободной точки
187
что точное значение интеграла лежит между двумя его значениями, которые мы получим, заменяя последовательно sin2? двумя его крайними значениями 0 и 1. Таким способом найдем:
Если k очень мало, то эти два граничных значения для Т очень мало отличаются друг от друга, и мы можем положить
Эта формула дает значение для половины периода бесконечно малого колебания маятника.
Значение Т можно выразить сходящимся рядом по положительным степеням ?2. По формуле бинома (ряд сходится, так как ?2sin2t? < 1) имеем:
Подставляя это разложение в интеграл Лежандра (2) и интегрируя его почленно, получим:
Если пренебречь членами четвертого порядка и выше, то значение полупериода приближенно выражается следующей формулой:
Такое приближение почти всегда оказывается достаточным.
151. Свойства простого маятника. — Простой маятник состоит из тяжелой материальной точки М, подвешенной к неподвижной точке О при помощи невесомого стержня (или нити) неизменяемой длины. Стержень отклоняют от
(3)
Т — и
188 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
вертикали и предоставляют маятник действию силы тяжести. Точка М будет при этом описывать окружность в вертикальной плоскости с центром О согласно законам, полученным выше. Половина периода полного колебания определится формулой (2), где I—длина маятника и а — начальное отклонение стержня от вертикали. Если это отклонение очень мало, то продолжительность Т полу-периода с достаточной точностью определится формулой (3) и не будет зависеть от начального отклонения (т. е. от амплитуды колебаний). Это свойство, которое называют изохронизмом малых колебаний, служит основанием для применения маятника к регулированию хода часов.
152. Измерение g. — Из формулы (3) получаем следующее выражение для g:
9 1
Эта формула дает средстго для точного определения ускорения g силы тяжести в каждом определенном месте. С этой целью в данном месте наблюдают колебания маятника длиной I и определяют число п колебаний в заданный промежуток времени Тх. Продолжительность половины полного колебания равна Тх:2п\ следовательно,
