Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
137. Случай отталкивания. — Проекции ускоряющей силы в случае отталкивания по взличине такие же, как в случае притяжения, но имеют обратные знаки. Это сводится к замене &2 через — №. Уравнения движения имеют вид:
X — k2x = 0, у — k2y = 0.
Значения х = еы х — е~ы представляют собой частные решения первого уравнения. Как и в предыдущем случае, общее решение получим, составляя линейную комбинацию двух частных решений. Пусть а,Ь и alt — четыре постоянных интегрирования, тогда общие решения предшествующих уравнений будут:
х — аеш -j- le~kt; у — -f- Ъхе~м.
Постоянные определяются начальными данными.
Проведем оси так же, как в предыдущем случае: ось х — через начальное положение движущейся точки, ось у — параллельно начальной скорости; тогда буд?м иметь:
хо = а + Ь = го> хо =vx° = k (а — Ь) = 0,
.Уо =* = °> y0' = 0 = k (fll — *!) —г»0;
отсюда
Уравнения движения в конечной форме запишутся так:
gkt о gkt —
х = г0 2 \ У — ~jf 2 ‘
Они дают параметрическое представление траектории. Траектория есть гипербола, отнесенная к двум сопряженным диаметрам. Исключая t, получим уравнение этой ги* перболы в виде:
И*
164 Часть вторил. Основные законы. Динамика точки
Между этим случаем и предыдущим имеется коренное различие. В случае притяжения движущаяся точка остается сколь угодно близко от центра притяжения, лишь бы начальное расстояние г0 и начальная скорость v0 были достаточно малыми. В случае отталкивания, каковы бы ни были эти начальные данные, движущаяся точка все более и более отклоняется от центра отталкивания и удаляется в бесконечность.
§ 9. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРОСТОЕ, ЗАТУХАЮЩЕЕ И ВЫНУЖДЕННОЕ
138. Простое и затухающее колебательное движение.— Рассмотрим опять движение точки М, притягиваемой силой, пропорциональной расстоянию (п° 136). Если начальная скорость равна нулю, или направление ее проходит через центр, то постоянная площпдей равна нулю, и, следовательно, движение прямолинейное и происходит по прямой, проходящей через центр. Возьмем точку О за начало и прямую, по которой происходит движение, за ось Ох. Ускоряющая сила направлена по этой оси и равна — k?x, где k2 есть положительная постоянная. Дифференциально? уравнение движения имеет вид (п° 136):
х" -j- k2x = О,
его общий интеграл есть (п°136)
х = a cos kt -j- b sin kt.
Постоянные а и b определяются начальными значениями x0 и х0г абсциссы и скорости. Для ^ = 0 имеем х0 = а и
Xq = kb.
Следовательно,
х — xQ cos kt-\-~ sin kt.
Это равенство представляет собой уравнение простого колебательного (или периодического) движения. Продолжительность, или период, полного колебания есть21г:&,
Г лава V. Движение свободной точки
165
число колебаний в единицу времени (вообще говоря дробное), или частота, есть k : 2тг.
Предположим теперь, что движущаяся точка, находящаяся под действием той же притягивающей силы, испытывает, кроме того, сопротивление при перемещении, пропорциональное величине скорости. Алгебраическое значение этого сопротивления, отнесенное к единице массы, будет — 2\х', где 2>- есть положительный коэффициент. Дифференциальное уравнение движения принимает в этом случае вид:
х" -f 2>,х' 4- k2x = 0.
Оно попрежнему линейное и однородное, но содержит одним членом больше, чем в предыдущем случае. Заменой переменного
х — е ,f2
уравнение приводится к двучленной форме: г" -j- (&2 — ^2) 2 = 0.
Следует различать три случая, в соответствии с тем, будет ли k больше, меньше и.ш равно X.
Первый случай. Затухающее колебательное движение. Если ?>А, то полагаем
Aj = < k,
и тогда z удовлетворяет уравнению z"-\-k*z=z0, имеющему известный интеграл
z = a cos k{t -j- b sin k^t.
Уравнение движения в конечной форме имеет поэтому вид:
д. = е~и (a cos kyt -(- b sin kxt).
Если в качестве начального момента возьмем тот, когда г проходит через максимум г0 = л:д, и положим г0' = 0,
166 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
то получим b = 0 и а = х0; уравнение приводится тогда к виду:
х = xQe~xt cos k^t.
Если t возрастает неограниченно, то л: стремится к нулю, совершая при этом колебания с одним и тем же периодом T1 — 2'x:ki, но с убывающими амплитудами. Период в этом случае оказывается большим, чем период незатухающих (или свободных) колебаний, так как ki <?. Множитель X называется коэффициентом затухания, или коэффициентом вязкости; число е~ХТi, равное отношению двух последовательных максимумов х, т. е. двух последовательных амплитуд, называется коэффициентом редукции, или декрементом затухания *).
Второй случай. Если полагаем
А1==/Х» —А«<а; уравнение для переменной г принимает тогда вид: г"— k-^z — О и имеет общим интегралом (п° 137)
