Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
'¦?(*, У, г) = ? (*0, Уо. го)-
Т е о р е м а. — Сила F действует по нормали к поверхности уровня, проходящей через точку приложения силы, и ориентирована в сторону возрастания функции ср.
Прежде всего, сила направлена по нормали, так как X, Y, Z пропорциональны направляющим косинусам силы,
d<t <Э<р д»
а , -0-----направляющим косинусам нормали,
и эти величины равны друг другу попарно.
Далее, сила ориентирована в сторону возрастания функции ср, так как элементарная работа rfcp положительна для перемещения в сторону действия силы, функция же ? в этом случае возрастает.
1,)4 Чисть вторая. Основные законы. Динамика точки
130. Работа силы тяжести. — Силовое поле однозначно, если сила определяется единственным образом в каждой точке поля. Это имеет место в случае силы тяжести, если предположить, что эта сила действует на одну и ту же материальную точку. Кроме того, мы сейчас установим, что в этом случае существует силовая функция.
Направим ось г вертикально и ориентируем в сторону действия силы тяжести; тогда проекции веса точки с массой m будут:
Х=0, Y — 0, Z ----- mg.
Следоватечыю, существует силовая функция
а = mgz.
Работа силы тяжести при переходе тяжелой точки из положения (лг0, у0, г0) в другое положение (atj, уи г:) будет:
? Oi. ,'V *i) — ? (хо< >’о> го) = >пм (21 — 2о)-
Таким образом, работа силы тяжести, действующей на весомую точку, равна весу точки, умноженному на положительное или отрицательное количество, измеряющее понижение ее центра тяжести (повышение точки рассматривается как отрицательное понижение).
В данном случае поверхности уровня определяются уравнением z = а. Эти поверхности представляют собой горизонтальные плоскости, и по этой именно причине они получили название „поверхностей уровня”, которое, по аналогии, было перенесено на общий случай.
131. Работа центральной силы. — Пусть М—точка, находящаяся под действием центральной силы F, линия действия которой проходит через центр О. Обозначим через г радиус-вектор ОМ, через F — алгебраическое значение силы, считая его положительным в случае притяжения и отрицательным в случае отталкивания.
Так как F считается положительной при ориентации, противоположной радиусу-вектору г, то элементарная работа силы F будет:
— Fds cos (г, ds) = — Fv cos (л, v) dt,
Глава V. Движение свободной точки
155
где v есть скорость . Но v cos (г, v), т. е. проекция ско-
dr
рости v на радиус-вектор, есть радиальная скорость
(п°48), и выражение для элементарной рабэты приводится к виду:
Предположим, что F зависит только от г, так что F = ty(r)\ тогда будем иметь:
Таким образом, элементарная работа есть полный дифференциал функции от модуля радиуса-вектора г, который сам есть функция от х, у, г, так что существует силовая функция
В этом случае поверхностями уровня »(/-) = а являются поверхности, для которых г = const. Они представляют собой поэтому сферы с центром в точке О.
Рассмотрим, в частости, случай, когда точка притяги-пается к центру силой, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра, так что ty(r) = k:r2. Силовая функция будет
Поверхности уровня г = const, как и и общем случае, сугь сферы с центром в точке О.
Замечание. — Движущаяся точка может находиться под одновременным действием нескольких центральных сил, являющихся функциями от расстояния и вызываемых притяжением или отталкиванием различных неподвижных центров. В этом случае тоже имеется силовая функция, равная сумме силовых функций, относящихся к каждой из центральных сил в отдельности (п° 127).
— Fdr.
— Fdr — — ']> (г) dr — — d [ ф (г) dr.
156 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки
§ 7. ТЕОРЕМА ЖИВОЙ СИЛЫ
132. Теорема живой силы. — Определение. Живая сила *) движущейся материальной точки в данный момент времени есть положительное число, равное половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.
Между живой силой точки и работой действующей на точку силы существует основное соотношение, называемое теоремой живой силы и являющееся, может быть, наиболее важным во всей механике. Мы установим сейчас эту теорему.
Рассмотрим точку с массой т, движущуюся под действием только одной силы F. Пусть:<,y,z— координаты точки и X,Y,Z—проекции силы на оси. Рассмотрим первое из дифференциальных уравнений движения
которое может быть написано в виде:
Перемножая это уравнение почленно с равенством vxdt = dx, получим:
mvxdvx = Xdx,
или в другом виде:
d^L. = Xdx.
Подобным же способом находим
d™JL=Ydy, d^f^Zdz.
Сложим почленно эти три равенства. Замечая, что
^2-f V + X'*9=,y2>
*) Для той же величины существует другой термин—кинетическая энергия. (Прим. перев.)