Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Валле-Пуссен Ш.Ж. -> "Лекции по теоретической механике 1" -> 55

Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.

Валле-Пуссен Ш.Ж. Лекции по теоретической механике 1 — М.: Ил, 1948. — 339 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipoteoriticheskoymehanike1948.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 104 >> Следующая


откуда

(7)
1/4 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки

Из уравнений (6) и (7), исключая h, получим

143. Выражения г, 6 и S в функциях от эксцентрической аномалии. — Положение планеты на ее траектории зависит от времени в соответствии с теоремой площадей. Мы рассмо1рим здесь задачу определения этого положения

В

только для эллиптического движения, Предварительно следует решить чисто геометрическую задачу: выразить координаты г и в и площадь 5 фокального сектора эллипса в функциях от эксцентрической аномалии. Дадим сначала определение эксцентрической аномалии.

Рассмотрим эллипс, отнесенный к своим осям:

+ (а>Ь).

Построим окружность на большой оси как на диаметре (фиг. 28) и возьмем точку М на этой окружности, имеющую ту же самую абсциссу х, как точка Р эллипса, и лежащую с той же стороны от большой оси. Центральный угол АОМ называют эксцентрической аномалией точки Р и обозначают его через и. Эксцентрическая аномалия изменяется от 0 до 2т:, когда точка Р огшсы-
Глава V. Движение свободной тонки

175

вает эллипс, а точка М в то же самое время описывает окружность.

Пусть г и 0 — полярные координаты точки Р, полюс которых совпадает с фокусом эллипса. Выразим сначала эти две координаты как функции от и. Непосредственно имеем х — a cos и, и далее, на основании свойств эллипса,

С другой стороны, обращаясь к фигуре 28, получим: х = OF -j- FP cos 0 = с + r cos 0 = ае -)- г cos О,

Формулы (9) и (10) выражают г и 0 в зависимости от эксцентрической аномалии и. Перейдем теперь к вычислению отсчитываемой от большой оси площади 5 фокального сектора эллипса, т. е. сектора AFP (на фиг. 28), имеющего свою вершину в фокусе F, ближайшем к точке А. Дифференцируя формулу (10), получим

г — а — ex — а (1 — г cos и).

(9)

откуда

г cos 0 = х — ае — a (cos а — е).

Из этих формул получим:

(гг2 Ч 1 — cos^ г 1 — ^cos и—(cos и — е)

ъ 2 1 + cos 0 ' г 1 — е cos и + (cos и — е)

Так как

(1 — е) cos2 ^ + (1 + ^sin11 -

1 — е соз и

(1 — е) cos2 ?¦

(1 — е) cos2 ^
176 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки

то

dfl = лГI±? du = Ух~е\ du.

У I — е „и 1 — г cos it

cos2 -g-

Подставляя это значение d4 и значение г из формулы (9) в выражение -j площади элементарного сектора dS, получим:

dS = y f2 d® = —— (1—e cos и) du\

отсюда, интегрируя от 4=0 и и=0, будем иметь:

с cfiY 1 —ё1 , . .

5 =-------^---(м — е sin “)¦

Таково искомое выражение площади фокального сектора в зависимости от эксцентрической аномалии.

144. Выражение времени движения как функции от эксцентрической аномалии. — Мы можем теперь возвратиться к движению планеты. Два ее положения на концах большой оси являются соответственно самым близким

и самым удаленным от Солнца, т. е. от фокуса F. Им дают название перигелия и афелия. Условимся отсчитывать

время ^ог того момента, когда планета находится в перигелии А (фиг. 28).

Теорема площадей дает:

отсюда, интегрируя от t = 0 и определяя S, как в пред шествующих вычислениях, получим:
Глава V. Движение свободной точки

177

Заменим 5 его значением, полученным выше, и постоянную С—ее значением из (5); тогда будет

Такова зависимость между t и эксцентрической аномалией. Теперь величины г, f) и t явно выражены как функции от параметра и формулами (9), (10) и (11), и задача интегрирования решена, правда, в параметрической форме.

Продолжительность Т обращения планеты получим, полагая и = 2ir в формуле (11)

Таким образом, квадраты времен обращения относятся, как кубы больших осей орбит. Это — последний из законов Кеплера. Заметим, что продолжительность обращения зависит лишь от большой оси орбиты, а следовательно, лишь от начального положения планеты и от величины начальной скорости, но не от ее направления.

Чтобы покончить с этим вопросом, остается найти явные выражения г и 0 в зависимости от t. Для этого нужно было бы найти выражение и через t из уравнения (11) и подставить его в формулы (9) и (10). Но уравнение (11) трансцендентное, и решение его можно получить лишь приближенными способами. Рассмотрение этого вопроса скорее относится к небесной механике, поэтому мы оставим его в стороне.

§ 11. РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

145. Определение.— Говорят, что покоящаяся в какой-либо момент точка находится в равновесии, если равнодействующая приложенных к ней сил равна нулю. Если точка остается в равновесии в течение некоторого промежутка времени, то она находится в состоянии покоя в течение этого промежутка.

(П)

12 Зак. 968.
178 Часть вторая. Основные законы. Динамика точки

Таким образом, необходимое и достаточное условие для того, чтобы покоящаяся точка была в равновесии под действием приложенных к ней сил, заключается в том, чтобы равнодействующая R этих ||сил была равна нулю. Если X, Y, Z¦—проекции силы R, то это условие аналитически запишется в виде трех алгебраических уравнений:
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 104 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed