Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Вычислим теперь толщину пограничного слоя, положив в (1.21) величину е == 0,005. Имея для vx формулу (2.16), можем написать __
С V V С V‘2v V* )
Из последнего уравнения получаем
6(*) = 5,6д/^. (2.24)
Формула (2.24) также дает возможность понять, почему формула (2.16) неверна при больших Re (или /). Толщина пограничного слоя растет с ростом х, и при очень больших х нарушаются предположения теории пограничного слоя. Формула (2.24) хорошо согласуется с экспериментом в ламинарной области.
Замечание. Часто используют местное число Re (я), ко-
V х
торое можно определить равенством Re(x) = —. Тогда
Ь{х) _ 5,6
X VRe М
ГЛАВА XXII
ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА
В предыдущих главах было выяснено, что для установившегося течения вязкой жидкости существенно значение числа Рейнольдса, причем при отсутствии массовых сил (g — 0) число Re является единственным параметром, характеризующим с точностью до подобия рассматриваемое течение. Поэтому когда не удается найти точное решение задачи, в общем случае развивают приближенные методы, соответствующие тем или иным предположениям относительно числа Рейнольдса. Такие приближенные методы развиты в предположении, что Re > 1 и
Ранее исследовался случай больших чисел Re. В данной главе мы будем рассматривать течения вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса Re <с 1- Это означает, что к рассматриваемому виду относятся медленные движения вязкой жидкости, движения жидкости с большой вязкостью, движения малых тел в сравнительно вязких жидкостях.
Для получения уравнений движения вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса будем исходить из общей системы уравнений Навье — Стокса
-J-==--~-gradp + vAv,
я п (М>
div v = 0.
Будем рассматривать внешнюю задачу. Пусть характерный размер обтекаемого тела а, а скорость на бесконечности v|«, = V. Введем безразмерные независимые переменные и безразмерные искомые функции
После перехода к новым независимым переменным и новым искомым функциям получим
§ 1. УРАВНЕНИЯ СТОКСА
(1.2)
(1.3)
281
При этом искомая функция и удовлетворяет на бесконечности
условию их = Re. Модуль искомой величины и = |и| = -^- по
существу является местным (вычисленным в данном месте) числом Рейнольдса. Предположение о малости чисел Рейнольдса означает, что
I и I = I— <1,
I V
ИЛИ
1«*|< 1, К1<1> (1.4)
Поскольку безразмерная скорость и ее компоненты их, иу, иг меняются на величины порядка их самих на расстояниях порядка единицы (характерного размера), то в этих течениях наряду с (1.4) имеем
ди.
< 1. (1.5)
dl
Из (1.4) и (1.5) следует, что произведения вида
ди.
u‘aif-
являются величинами второго порядка малости. Пренебрегая в уравнении (1.3) величинами второго порядка малости по сравнению с величинами первого порядка малости, получим уравнения
ди j гг 1 д2и . д2и . д2и
дт ~~ gr dl2 ’
я я я (L6)
Ullv OUu УН»
—- -I--------I--------- == О
д% ^ dit ^ dl
Уравнения (1.6) есть уравнения движения вязкой жидкости при малых числах Re, записанные в безразмерном виде. Если теперь в уравнениях (1.6) снова вернуться к размерным величинам, то будем иметь систему
dv 1 , , ( d2v . d2v . d2v \
- = --grad P + v{jF + W + ^),
(1.7)
dvx dvu dvz ' '
—-A---------A---------- = 0
dx ~ dy “ dz
Уравнения (1.7)—уравнения Стокса для движения вязкой жидкости при малых числах Re. Иногда их называют уравнениями Стокса для медленных движений. В случае установившихся движений они имеют вид
( d2v . d2v . d2v \ ,
ii{-d^ + W + 'd?)==gvadp’
0-8)
dvx dv,, dvz '
—1 J_______L _|_____-==0
