Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Валландер С.В. -> "Лекции по гидроаэромеханике" -> 105

Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.

Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике — Л.: ЛГУ, 1978. — 296 c.
Скачать (прямая ссылка): lexciipoaerogidromehanike1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 .. 110 >> Следующая


dx ^ dy ^ dz

282
Системы (1.7) н (1.8) отличаются от исходных уравнений (1.1), в частности, тем, что они линейны, поэтому строить их решение гораздо проще. Благодаря этому они решены во многих частных случаях.

§ 2. ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

Пусть сфера г — а обтекается установившимся потоком, скорость которого V на бесконечности направлена параллельно оси х. Чтобы решить задачу об обтекании сферы при малых числах Re, нужно найти решение системы (1.8), удовлетворяющее граничным условиям:

на сфере х2 + у2 + z2 = а2 (r = a): v|r_a = 0,

или

f*lr=a = 0, Vy |г_а = 0, vz |г=а = 0, (2.1)

на бесконечности:

vxL=V, uyL = 0, wzL = 0, pL = px. (2.2)

Вообще говоря, решение можно получить разными способами. Наиболее естественным является следующий ход решения задачи. Вводят сферические координаты г, 0, К и записывают систему уравнений и граничные условия для vr, ve, vh и р. Из условий симметрии следует, что

ил = 0, vr = vr(r, 0), vB = v6(r, 0), p = p{r,Q).

Решение задачи отыскивают в виде

vr = f(r) cos0, ой — g (г) sin 9, р = \ih (г) cos 0. (2.3)

Подставляя (2.3) в (1.8), получают для неизвестных функций f(r), g(r), h(r) систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрируя эту систему уравнений и учитывая граничные условия, находят функции f(r), g(r), h(r), а следовательно, и решение (2.3). Это решение (мы его выпишем для vx,vy,vz) будет иметь вид

•.-гО-Н-ЧЙ-т-^ о-я-

3 Vaxy

аху ( j _

г* V г2)’

V2 =

¦('-я-

3 Vax : Poo — у И ~

где г = ^/х2 + у2 + г2. Можно доказать, что функции (2.4)-единственное решение задачи.

283
Имея распределение давления и скоростей около сферы, можно вычислить силу сопротивления Rx, а следовательно, и коэффициент сопротивления Сх сферы. Главный вектор сил

¦S

Формула Коши для тл для точек поверхности сферы г = а может быть записана в виде

хп = Хх COS (п, X) + Ху cos (п, у) -f xz COS (rCz) = Хх у -f ху -f т2-|. Соответственно проекции вектора R

S S

ГГ ГГ (2.5)

R«=\\тпу dS, Rz=\\ tnz dS.

Компоненты тензора напряжений могут быть вычислены с использованием решения (2.4) по известным формулам

(dv, dvh \

дГк + -щ)- (2-6)

Подставляя (2.6) в (2.5), после вычисления получим RtJ = = Rz = О,

Дх = 6яцаУ. (2.7)

Формула (2.7)—известная формула Стокса для сопротивления сферы при малых числах Re. Сила сопротивления сферы пропорциональна вязкости ц, радиусу сферы а, скорости V. Коэффициент сопротивления сферы при малых числах Re

*’ 12 тяг-ТС-. (2-8)

Y рК2яаг Va Re

(При больших Re имеем пограничный слой, Сх~—, при

•vRe

еще больших Re с хорошей точностью Сх постоянен.) Решение

(2.4) и формулы (2.7), (2.8) хорошо подтверждаются экспериментом до чисел Re < у (решение получено в предположении Re <С 1) Формула Стокса имеет большое применение.

284
§ 3. ПАРАДОКС СТОКСА

Рассмотрим плоскую стационарную задачу. Систему ураппе* пий (1.Н) можно тогда записать в виде

и ( d*Vx _i_ — Цр_

V’K.dx* 'г dtj* ) Ох ’

Если использовать эти уравнения для получения решения задачи об обтекании кругового цилиндра, когда граничные условия имеют вид

то оказывается, что такая задача вообще решения не имеет, так как пенозможЕго удовлетворить одновременно условиям на теле и на бесконечности. Единственное решение задачи, удовлетворяющее условиям прилипания а а теле, есть тождестпепный нуль. Такое же утверждение верно для произвольного цилиндра. Это—парадокс Стокса, а именно; если рассматривается обтекание цилиндра произвольной формы потоком вязкой жидкости, то уравнения Стокса для стационарной задачи в плоском случае решения не имеют. Возникает вопрос: спраоедлнпм ли те предположения, которые были нслодьзоваиы при переходе от уравнений Навье — Стокса к уравнениям Стокса. Для ответа на ятот вонрог ир(жнрич, гтфяпедлишт ли ятц предположения к задаче об обтекании шара при том конкретном пнде гголя скоростей, которое мы имеем в этом случае. Если но формулам /2.4) вычислить членч, нкодящие о уравнения Навье - Стокса, и

сравнить выброшенные члены v* и оставленные grad pr цАу,

то окажется, что в некоторой окрестности сферы отброшенное члетш действительно малы по сравнению с оставленными. Однако на больших расстояниях от сферы отброшенные члены много больше сохраненных. С л сдоя я только, предположения Стокса запедомо неверны на больших расстояниях от тела. В свя.1н с этим возникают следующие вопросы: не в этом ли состоит причина парадокса Стокса, нельзя ли усовершенствовать уравнения Стокса, сохраним линейность, но обеспечив коррект-hociTj на больших расстояниях от тела.
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed