Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(не зависит от у), уравнения, пограничного слоя с учетом (1.16) можно записать в следующем виде:
dvx . dvx т, dll i d*vx
А Я (I.I7)
dVx I d0V _n
дх "r dy
Так как, в частности, приг/ = 0 = — (и Q, то за
функцию U может быть взято решение уравнений идеальной жидкости при у — 0. При этом U — Uх и зависит только от х. Искомые функции vx, vy нужно находить как решение уравнений (1.17) при следующих граничных условиях:
1) на теле при 0 ^ х ^ / (условия прилипания)
\у—о== 0* vу !у=о — 0, (1.18)
2) на внешней границе пограничного слоя
vx = (l -е) ?/(*), (1.19)
где е — заданная малая величина.
Фактически ввиду неопределенности границы пограничного слоя (6(л:) неизвестна) соотношение (1.19) не является граничным условием, так как в нем vx = vx(x, 8(х)), где 6(л:) неизвестна.
Поэтому граничные условия несколько видоизменяют. Во-первых, решения системы (1.17) можно найти только при заданном значении vx при х = 0. Во-вторых, условие на границе пограничного слоя заменяют условием при у-* оо исходя из
275
предположения, что внутри пограничного слоя vx быстро CTge-мится к предельным значениям при удалении от тела. Таким образом, вместо условий (1.18), (1.19) получают условия:
1) при 0<х</ w*lj,=o = 0, vy |j,_o = 0,
2) -o = ^(0), (1.20)
y> 0
3) vx\ x = ?/(*).
0 <*<(
Имея распределение скоростей в пограничном слое, т. е. найдя решение уравнений (1.17), удовлетворяющее условиям (1.20), можно найти внешнюю границу пограничного слоя 6(х), используя (1.19):
vx(x, 6) = (1 — e)U(x). (1.21)
§ 2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ОКОЛО ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНКИ
Пусть пластина 0 ^ х < оо обтекается потоком со скоростью V, направленной по оси х. Требуется найти течение в пограничном слое (рис. 57).
Берем уравнения теории пограничного слоя для случая установившегося движения
дох
ду р
dvr dvu
dvx ,J* дх
+ Vy
l др дгох
n дх ' ду2
—- 4-
дх ^
ду
= 0.
(2.1)
В этих уравнениях р — р(х)— известное давление в потоке идеальной жидкости на внешней границе пограничного слоя или (из-за тонкости пограничного слоя) известное давление на обтекаемом контуре в потоке идеальной жидкости.
Рассматриваемая нами пластинка не возмущает потока идеальной жидкости. Поэтому
р = р(х) = р00 = const.
Следовательно, нужно интегрировать уравнения
дул
Vх дх 1 '"У ду dvx дои дх
, dvx дгох + vy-dU- = v-d^-
(2.2)
+ -^ = 0. ду
Из этих уравнений нужно найти vx и vy. Искомые vx и vy являются решением системы уравнений (2.2), удовлетворяющим краевым условиям
Vx 1(/=0, *>о = 0»
Условие на внешней границе пограничного слоя (при у = 6(дс)) можно заменить условием при у = оо, х ^ 0 и при jc = О, у > 0. Поэтому будем интегрировать уравнения (2.2) при условиях
v* Wo, *>о ^ vy !^=о. х>о ~
V* \x-Q,y>0—V* (2*4)
lyeQOj Х>0 '
Из первого уравнения (2.2) имеем
d2vx dv
v -m- -vx- -
'X
dy
Подставляя (2.5) во второе уравнение (2.2), получаем
d2vx dvx
dvx . d v dy2 v* dx _n (n
1T+U----------------------= ()- <2'6)
dy
Вместо системы уравнений (2.2) можно интегрировать уравнение в частных производных третьего порядка (2.6).
Сформулируем граничные условия для уравнения (2.6). Эти условия должны содержать лишь функцию vx. Из равенства
(2.5) следует, что для выполнения условия vy = 0 при у = 0,
х > 0 должен обращаться в нуль числитель в (2.5) (предполагаем, что 4^- ф о). Но так как при у = 0, х > 0 и vx = 0, то это означает, что
•&| =0. (2.7)
°У у-О, *>0
Таким образом, уравнение (2.6) нужно решать при следующих граничных условиях:
d2vx
= 0,
