Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
|/=0, х>0
'х ly-o, л>0 дуг
^U,>0=^ (2-8)
I,—. x>o=V-
Прандтль заметил, что решение уравнения (2.6) можно искать в виде
м
Если положим
‘-^Зг (2'"),
277
и условимся обозначать штрихом дифференцирование по |, то
= Зг" (I)
dvjc
ду
= <Г'(?) ‘ '
V2v Ы х.
d2v> ду2
1
2\х
Подставляя эти равенства в (2.6), получим для 9" (I) следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
ЗГ'ЗГ'" — (Т")2 + ЗГЗГ'2 ¦.
= 0.
(2.11)
Для того чтобы vx в виде (2.9) было решением уравнения (2.6) при условиях (2.8), нужно найти решение обыкновенного
дифференциального уравнения
(2.11), удовлетворяющее условиям
5Г(0) = 0, ЗГ"( 0) = 0, ЗГ(оo)=V.
(2.12)
Уравнение (2.11) не интегрируется в квадратурах, а применение численных методов более просто, когда условия поставлены на одном конце интервала.
Имея в виду решение задачи
(2.11), (2.12), решим сначала вспомогательную задачу. Именно найдем сначала функцию являющуюся решением уравнения (2.11) и удовлетворяющую условиям
0-,(О) = О, 0-i(O)=l, Т" (0) = 0.
(2.13)
Задача (2.11), (2.13) есть задача Коши для уравнения (2.11) при начальных данных (2.13). Задачу Коши сравнительно легко решать численными методами. Можно показать, что решение задачи (2.11), (2.13)—ограниченная функция, имеющая конечный предел на бесконечности. Функция ^\(1) фактически была построена. Считаем, что &~i(%) нам известна и, в частности, известна постоянная С такая, что
5Г1 (сю) = С.
(2.14)
Имея построим функцию iF(g). Пусть k — некоторая
постоянная. Прямой подстановкой в уравнение (2.11) можно убедиться в том, что функция
(2.15)
являйся решением уравнения (2.11), если является его
решением. Поэтому, имея ^”i(i), мы одновременно имеем одно-
278
I
параметрическое семейство решений уравнения (2.11), зависящее от параметра k и определяемое формулой (2.15).
Подберем k так, чтобы функция ST(Q, определенная (2.15), была решением нужной нам задачи (2.11), (2.12). Уравнение
(2.11) выполнено. Из условий (2.13), по которым строилась ^](|), функция ?F(|) при любом k удовлетворяет первому и второму из условий (2.12). Поэтому нужно выбрать k так, чтобы было выполнено третье из условий (2.12). Записывая его, имеем
k2Px (оо) = V,
или с учетом (2.14) k2C = V:
й = л/?-
Следовательно,
<2-16»
есть решение поставленной задачи. В нем функция &~\ и константа С известны.
Предположим теперь, что решение (2.16) для полубесконеч-ной пластины можно использовать для приближенного вычисления сопротивления Rx пластины конечной длины I и ширины b (рис. 58). Очевидно,
R*=2 S!dz S!Ldx=2b S!L dx‘ (2Л7)
Коэффициент 2 в (2.17) введен из-за того, что учитываем две стороны пластины. Имеем
дух ду
С учетом (2.16) и (2.13) получим
у-о
(2.18)
у-О
Подставляя (2.19) в (2.17), найдем сопротивление пластины
¦=26(гТ(2'20)
ибо ц, = pv.
Вычислим теперь коэффициент сопротивления Сх. По определению
Ся = -г&-. (2.21)
279
Подставляя в (2.21) вместо Rx его выражение (2.20) и учитывая, что в нашем случае S — bl, получим
Сл e = 4 V2 (~)h , (2.22)
С к л/VI \С) VRe
где — = Re — число Рейнольдса.
V
Расчеты показывают, что 4 д/2 (¦?") h ~ 1.328. Таким образом,
= (2.23)
VRe
При больших числах Re коэффициент сопротивления пластинки обратно пропорционален д/Re. Формула (2.23) хорошо подтверждается экспериментом для чисел Рейнольдса Re^3-105. При больших значениях Re данные эксперимента сильно отличаются от значений, даваемых формулой (2.23). Граница 3 -105 условна, ее можно увеличить, если очень хорошо полировать пластину. Эксперименты показывают, что на некотором расстоянии от передней кромки ламинарный пограничный слой начинает переходить в турбулентный. Этот переход и приводит к нарушению картины, предписываемой формулой (2.23).
