Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что число Re содержит коэффициент v. Этот параметр подобия характерен для вязкой жидкости. В идеальной жидкости v = 0 и Re — оо. Подобие же по числу Фруда имеет смысл как для вязкой, так и для идеальной жидкости.
Рассмотрим теперь следующий вопрос. Пусть произведен опыт с моделью в аэродинамической трубе. Когда можно использовать данные этого эксперимента для реальных обтеканий? Предположим, что условия 1), 2) выполнены и g — поле силы тяжести. Пусть индексом 1 отмечаются величины, связанные с экспериментом в трубе. Тогда для подобия течений нужно выполнение равенств
Vl v2 ’ atg, a2gi
Если оба эксперимента проводятся в условиях Земли, то gi = = g2 — g, если среда одна и та же (например, воздух), то, кроме того, vi = v2. Тогда условия (3.14) перепишутся следующим образом:
(V1»)2 (W
avM = a2vW
1 оо 2 ОО ’ д2
Обычно размер модели ai меньше размеров реального тела. Поэтому для выполнения первого условия необходимо, чтобы выполнялось неравенство > и®, а для выполнения второго условия необходимо выполнение неравенства < и®. Таким образом, подобие по числам Re и Fr приводит к противоречивым условиям.
Один из возможных выходов из этой трудности связан с проведением экспериментов при высоких давлениях. Тогда за
счет изменения плотности = V] < v2 в принципе можно добиться подобия по Re при < и®. Однако дело в том, что
числа Re и Fr не во всех условиях одинаково существенны. При исследовании волновых процессов (в частности, качки корабля), когда существенно влияние силы тяжести, моделируют по числу Фруда. При исследовании силы сопротивления, наоборот, существенно влияние вязкости — моделируют по числу Рейнольдса.
Можно в уравнения (2.1) ввести вместо функции функцию я:
я = — (gxx + gyy + gzz) +
9*
267
перепада давлений ф о) . Безнапорное движение жидкости
возможно если хотя бы одна из стенок переме-
щается.
§ 5 ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ
Рассмотрим установившееся течение в бесконечно длинной
неподвижной трубе с осью, направленной по оси х, сечением
2 2
^ -f -jr ^ 1. Скорость vx должна удовлетворять уравнению
pf + ^f = ±bP. (5.1)
ду2 1 дг2 ц Д* v '
и граничному условию на контуре
=°- (5.2)
аг Ьг
Будем искать vx в виде
vx = A( (5.3)
При постоянном А функция (5.3) удовлетворяет условию прилипания (5.2). Следовательно, достаточно подобрать постоянную А так, чтобы выполнялось равенство (5.1). Вычисляя производные функции (5.3) и подставляя их значения в уравнение (5.1), получим
_ о A + д —___1 аЧ2 ДР
zn\a2 ^ Ь2 )~ p. t±x ' п~~ 2ц а2 + Ь2 Д* ‘
Следовательно,
* 2ц Д* а2 + Ь2 V а2 Ь2) ' \ • )
При а = Ь = г из (5.4) получим формулу (4.6) для круглой трубы. Соотношение (5.4) подтверждается экспериментом для ламинарных течений.
Замечание. Пусть имеется неподвижная цилиндрическая труба с контуром I в поперечном сечении. Задача о течении жидкости в такой трубе сводится к интегрированию уравнения (1.13) с условием и|/ = 0. Такую задачу можно вообще решать для сечения любого вида.
§ 6. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ СООСНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ
Рассмотрим стационарное течение жидкости между двумя бесконечно длинными соосными круговыми цилиндрами радиусов R1 и R2 при отсутствии массовых сил. Направим ось х вдоль оси цилиндров, Предположим, что внутренний цилиндр вра-
258
шается с угловой скоростью <вь а внешний — со скоростью (1)2. Для решения задачи удобно ввести цилиндрические координаты г,0,х и записать в этих координатах систему уравнений вязкой
Ду в этой системе координат. Естественно предполагать, что скорость направлена по касательной к окружности г = const и зависит так же, как и давление, только от г, т. е. vx = vr — О, ve — v(r), р = р(г). Полученная система уравнений применительно к рассматриваемой задаче, когда движение установившееся, принимает простой вид и позволяет сразу получить решение задачи в виде
Постоянные Сi и Сг определяются из граничных условий. Однако для решения рассматриваемой задачи мы используем другой путь.
Чтобы найти зависимости v = v(r), запишем закон сохра-
r < R2 (рис. 55). Пусть М — момент сил, действующих на этот слой. Поскольку течение плоское, вектор М направлен по оси х. В силу стационарности движения
Здесь Т/-е — проекция на ось 0 (т. е. на направление v) напря* жения, действующего на площадку с нормалью г. При наших предположениях оно зависит только от г, поэтому
Таким образом, закон сохранения момента дает равенство