Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
dt 1 Vx dx ду P ~dy~
dvx . dvu
dx (1.3)
Будем рассматривать течение внутри слоя 0 ^ у ^ 6(я), где б (х) — толщина пограничного слоя. Займемся оценкой членов, входящих в уравнения (1.1) — (1.3), предполагая, что
у<1. (1.4)
Составляющая vx на внешней границе пограничного слоя имеет порядок V, где V — скорость на бесконечности. Предположим, что это справедливо во всем пограничном слое, т. е.
vx = 0(V). (1.5)
При изменении х от нуля до I скорость меняется на величину порядка V, поэтому
272
При изменении у от 0 до б скорость vx меняется от нуля (на стенке) до величины порядка V, поэтому
dvx ^ ^ \ д2ох г\ ( V
ду
»({)¦ с-7»
В силу предположения (1.4) < ~д"f , поэтому уравнение
(1.1) приобретает вид
dvx , .. dvx . dvx _ 1 др , d2vx .. ~
-dT+vx-Q7+Vy-^--~-TI+v-^r. (1.8)
Оценим порядок членов в левой части уравнения (1.8). В силу
(1.5), (1.6) имеем
dvx ~ / V2 \
и*-дГ = °{—)¦
Порядок величины vy можно оценить, используя уравнение неразрывности
dvy dvx _n(v\ _ f" d«v , _ n
dy dx \l )’ Vy Jo dy У \ I )'
Следовательно,
dvx _ / V& V \ Л / V2 \
Vy ~dy~ ~ \T T)~° v”T j '
Если дополнительно предположить, что рассматриваются только такие нестационарные течения, для которых имеет тот же
Л / V2 ^ fox
порядок 0( — 1 или меньше, то левая часть уравнения
имеет порядок О (-у-) •
Прандтль предположил, что в пограничном слое силы инерции и силы вязкого трения одного порядка. Принимая это предположение, получим, что
d2vx л / V2 dy3
-°(f)
или, учитывая (1.7),
Отсюда следует, что
7=°Ш- <1S>
Относительная толщина пограничного слоя обратно пропорциональна д/R® (так называемый первый результат теории пограничного слоя). Чем больше число Re, тем тоньше пограничный слой.
273
Для оценки члена используем следующие сообра-
жения. На внешней границе пограничного слоя при установившемся течении справедлив интеграл Бернулли
^- + А = const
зИ О..0)
Отсюда
Этот результат мы имеем и из уравнения (1.8). Рассмотрим теперь уравнение (1.2). Имеем dvu
vx
дх
Л Л, V6 1уг\ dvv v2\
Т~ I )’ иУ~ду~ — 0 (тт)’
d'v» _„(v\ (1'П)
2 ~ U\l2 lj' ду2 ~U\16J-
дх2
d2vy
Очевидно, в Дvy слагаемое можно отбросить по сравнению d2vy
с -д^ -. Воспользовавшись оценкой (1.9), получим
d2vu ( V \ / v I V2\ (Ь V2\
v Ih^ = 0 v'u)^ 0 (ж У “Г J= 0 (i г)-
Из (1.11), (1.12) и уравнения (1.2) следует, что
*?-<> (1т)' С-13)
Из сравнения (1.13) с (1.10) следует, что в пограничном слое
Таким образом, давление по оси у меняется существенно
медленнее, чем по оси х, поэтому уравнение (1.2) можно заме-
нить уравнением
g- = 0, p = p(x,t). (1.14)
Давление поперек пограничного слоя не меняется.
Система уравнений вязкой жидкости содержит еще уравне< ние неразрывности. Оно остается без изменений.
Уравнения (1.8), (1.3), (1.14) образуют систему уравнений пограничного слоя
dvx | dvx | dvx 1 dp j d2vx
Последнее из уравнений (1.15) означает, что давление через пограничный слой по нормали передается без изменения. Так как вне пограничного слоя жидкость можно считать идеальной, давление может быть взято из решения уравнений идеальной жидкости. Но так как пограничный слой тонок, то можно считать, что во всем пограничном слое зависимость давления р от х и / такая же, как в идеальной жидкости. Тогда два первых уравнения (1.15) можно рассматривать как систему уравнений пограничного слоя для функций vx и vy, в которых — известная
функция, найденная из решения задачи обтекания тела потоком идеальной жидкости.
Если течение установившееся, то вне пограничного слоя (идеальная жидкость) справедлив интеграл Бернулли
\ + —= const, и + — тг- = 0. (1-16)
2 1 р ’ дх 1 р дх ' '
Если и = U — скорость на внешней границе пограничного слоя, др
то в силу того, что не изменяется поперек пограничного слоя
