Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
1.4.2. Смешанные состояния
Энтропия запутанности (1.52) является хорошей мерой запутанности чистого состояния системы [1.29]. В условиях же реального эксперимента квантовые состояния оказываются смешанными, и запутанность состояний достигает меньшего значения, чем это возможно для чистых состояний. Однако оказывается возможным с помощью только локальных унитарных операций выделение из смешанного ансамбля передаваемых сигналов, описываемого частично запутанным состоянием, подансамбля с более высокой средней запутанностью, что было названо концентрацией запутанности [1.32]. Это достигается с помощью процедуры очистки (purification, distillation), как для частично запутанного чистого, так и смешанного состояния.
Очитка запутанности, как и сжатие (compression) квантовой информации [1.29, 1.32], состоят в проектировании гильбертова пространства неполного ансамбля чистых состояний \фп), генерируемых источ-
46
Глава 1
ником сигнала с вероятностями рп, на ортогональное гильбертово подпространство меньшей размерности. Однако между этими двумя подходами имеется и существенное различие.
Сжатие квантовой информации может производиться раздельно с помощью локальных операций для каждой из двух подсистем А и В. Это возможно в том случае, если подсистема имеет энтропию, меньшую чем максимальное значение, и формируется (см. раздел 1.2.2) из неортогональных состояний. На этом условии основана теорема Шумахера об оптимальном кодирования квантовой информации в длинных сообщениях при отсутствии шумов [1.22], обобщающей аналогичную теорему Шеннона в классической теории информации. В результате одностороннего сжатия информации в отдельных подсистемах запутанность состояния всей системы не достигает максимального значения, поскольку коэффициенты С{ в разложении Шмидта, вообще говоря, не являются одинаковыми. В отличие от сжатия информации, которая производится с помощью локальных операций для отдельных подсистем, операция концентрации запутанности выполняется для всей системы в целом.
В качестве меры запутанности в смешанном ансамбле предлагается [1.29, 1.32-1.34] ввести запутанность формирования (entanglement of formation) Ер(р), определяемую минимальным числом максимально запутанных (синглетных) парных состояний, необходимых для представления состояния, описываемого оператором плотности смешанного
СОСТОЯНИЯ Р = YlPnPm
где минимум определяется по отношению ко всем возможным реализациям смешанного ансамбля. Оказывается, можно создать максимально запутанные смешанные состояния, такие, для которых запутанность не может быть увеличена далее никакими унитарными операциями [1.36]. К сожалению, конкретное вычисление этой меры, как и других — непростая задача даже для двух кубитов.
Запутанность формирования Ер определяют через значение согласованности (7, она может быть найдена из матрицы плотности смешанного состояния двух кубитов с помощью выражения [1.37]:
п
Ef(p) = mm 'YjPnE{pn)
(1.63)
П
(1.64)
1.4. Запутывание квантовых состояний
47
где
Н(х) = -х log2 х - (1 - х) log2 (1 - х)
(1.65)
— функция энтропии Шеннона для двух кубитов (сравни (1.42)). При-
мером многокубитовой системы, находящейся в смешанном состоянии, может быть бесконечная цепочка кубитов, в которой состояние каждого кубита запутано только с состояниями ближайших соседей, а состояние всей цепочки инвариантно относительно сдвига каждого кубита из начального положения j в положение j + п для любого целого п [1.38].
Рассмотрим сначала состояние цепочки |zo), в которой кубиты с номерами j и j +1 образуют синглетные запутанные пары, но не образуют запутанных состояний с левыми (j — 1) кубитами:
|0)о|1>1 - |1>о|0)
72
!)«(
|0)г|1)з ~ |1Ь|0)з' у/2
(1.66)
Это состояние является трансляционно-инвариантным относительно четных смещений, но не является запутанным для всей цепочки, так как отдельные кубиты запутаны только с одним из соседей. Матрица плотности для незапутанных двух соседних кубитов в положениях j = = 1 и j = 2 соответствует полностью смешанному состоянию:
Д>(1,2) =
(1/4 0 0 0 \
0 1/4 0 0
0 0 1/4 0
V 0 0 0 1/4/
(1.67)
Состояние, смещенное по сравнению с (1.66) на одну позицию вправо \zi), имеет ту же трансляционную инвариантность:
10)111)2 11)11Q)2
л/2
|0)з|1)4 ~ |1)з|0)4
V5
..., (1.68)
но теперь матрица плотности для двух кубитов в положениях j — 1 и j = 2 соответствует уже чистому запутанному состоянию
Pi (1,2) =
/0 0 о 0\
0 1/2 -1/2 0
0 -1/2 1/2 0
\0 0 0 0/
(1.69)
48
