Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для взаимной информации существует верхняя граница, определяемая теоремой Левитина-Холево [1.21-1.25], согласно которой:
1(р) <С D(p) = S(p)apr - S(p)aps, (1.26)
где квантовая взаимная энтропия D(p) называется дефектом энтропии или информацией Холево, S(p)apr = S(p) Н — априорная энтропия и
S(p)aps = -^PnSppnlogzPn = ^PnSn(p) ^ 0 (1.27)
п п
1.3. Квантовые двухуровневые информационные ячейки-кубиты
35
— апостериорная или условная энтропия фон Неймана, аналогичная соответствующей условной энтропии Шеннона Haps.
Максимальное относительно всех возможных вероятностных мер (probability-operatop-valued measure — POVM), то есть при наилучшем измерении сигнала на выходе, значение взаимной информации (верхняя граница) получило в квантовой теории информации название достижимой информации (accessible information) Iacc = тахроумДр). Она определяет число битов, необходимое для точной передачи сообщения. В отличие от /асс, приведенная в разделе 1.1.3 величина 1т в классической теории соответствует максимальному значению взаимной информации, при лучшем кодировании передаваемого сигнала.
Из соотношений (1.26) и (1.27) следует, что достижимая информация определяется выражением Iacc = S(p) = Н, что соответствует случаю, когда сигнал формируется из ортонормированных собственных состояний фп(х), а операторы с собственными значениями х на выходе коммутируют с оператором плотности рп, то есть когда S(p)aps = = H(p)aps = 0. Нижняя граница для 1асс определяется более сложным образом [1.26].
В отличие от условной энтропии Шеннона неотрицательность условной энтропии фон Неймана не является общим свойством. Такое свойство является необходимым условием того, что совместный оператор плотности измеряемого начального состояния р(х) и состояния сигнала после редукции в измерительном устройстве р(у) является выпуклой (convex) комбинацией прямых (внешних или тензорных) произведений (знак ®) парциальных операторов плотности (условие сепарабельности смешанного совместного состояния) [1.27]:
р(х,у) = ^2рпРп(х) ® Рп(у), 'YjPn = 1. (1-28)
п п
1.3. Квантовые двухуровневые информационные ячейки-кубиты
Естественными квантовыми двухуровневыми элементами являются отдельные электронные и ядерные спины I = 1/2, состояния которых описываются двухкомпонентными спиновыми волновыми функциями-спинорами. представляющими собой векторы состояния в двухмерном гильбертовом пространстве При описании состояний квантовых
36
Глава 1
двухуровневых элементов другой неспиновой природы часто пользуются аналогичными понятиями псевдоспинора и псевдоспина.
Для описания состояний спиноров будем далее пользоваться обозначениями Дирака. Векторы состояния |а) представляются двухрядными матрицами-столбцами. Стандартным базисом для описания состояний квантовых двухуровневых элементов являются собственные состояния ^-компоненты спинового момента. Основному состоянию спина а = 0 соответствует отличная от нуля верхняя строка столбца вектора:
Векторы (а| образуют эрмитово-сопряженные матрицы-строки (а| = |с*)+. Для протона при |0) = | t) спиновый момент направлен по магнитному полю и при |1) = | — против поля, а для электрона —
наоборот.
Квантовый двухуровневый элемент в отличие от классического может находиться не только в каком-то одном из двух чистых базисных состояний, но и в обоих состояниях одновременно: \ф) = а|0) + &|1), \а\2 + \Ь\2 = 1, то есть вектор состояния может представлять собой произвольную когерентную суперпозицию базисных состояний или другими словами вектор состояний кубита может оканчиваться в любой точке окружности единичного радиуса в двухмерном гильбертовом пространстве Измерение такого квантового состояния состоит в определении коэффициентов разложения, или, другими словами, проекций измеряемого состояния на базисные состояния: а = (0|^), Ъ = (1\ф).
Условие ортонормированности векторов состояний имеет вид:
Двухуровневый квантовый элемент, способный находиться в таком общем суперпозиционном состоянии, был назван Б. Шумахером кубитом (quantum bit = qubit) [1.22]. Кубитом, аналогично классическому биту, стала называться также и единица количества квантовой информации.
(1.29)
а возбужденному а = 1 — нижняя:
(1.30)
(а'\а) = 8а><а.
(1.31)
1.3. Квантовые двухуровневые информационные ячейки-кубиты 37
Кодирование информации осуществляется последовательностью состояний отдельных кубитов. Энтропия фон Неймана квантового ансамбля является средним значением числа кубитов, необходимых для кодирования состояний ансамбля в идеальной схеме. Кубит — более общее понятие, чем бит, поскольку допускает кодировать большее количество информации, а совокупность кубитов способна образовывать запутанные состояния (см. ниже), не существующие в классических системах.
