Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
При этом матрица плотности в этом представлении принимает вид:
\Фав){Фав\ = Ci|ai)(ai| О |/?i)(/3i| + с1с2\а1)(а2\ ® |/3i)(/?2| + ^ ^
+cic2|a2>(ai| ® |/?2)</?i| + cl\a2){a2\ ® IAjX&I-
(1.51)
г=1,2
г=1,2
где
1.4. Запутывание квантовых состояний
43
Когда некоторая замкнутая квантовая система находится в чистом состоянии в качестве меры запутанности, для состояния ее части вводится энтропия запутанности или просто запутанность. Так, в простейшем случае для чистого состояния системы \флв), состоящей всего из двух подсистем (кубитов), относящихся к отправителю А и получателю информации В, энтропия запутанности состояния одной из подсистем выражается через соответствующую энтропию фон Неймана [1.32, 1.33]
Е(р) = - Sp РА log2 РА = ~ Sp Рв log2 РВ, (1-54)
для приведенных (reduced) операторов плотности
Ра = Sp# \'Фав)('Фав\, рв = Sp^ \'Фав)('Фав\, (1.55)
которые имеют смысл операторов плотности смешанного состояния с точки зрения, соответственно, наблюдателей А и В.
В связи с изложенным заметим, что энтропию фон Неймана смешанного состояния квантовой системы А, являющейся подсистемой некоторой замкнутой системы, можно рассматривать также как меру запутанности ее состояний с состояниями окружения В, и наоборот (сравни (1.55)).
В качестве единицы запутанности обычно принимают энтропию запутанности максимально запутанного состояния пары элементов. Ее называют кубитом запутанности или забитом [1.28] (entangled qubit = = ebit [1.29]). Запутанность двух кубитов изменяется от нуля для незапутанных и до одного забита для максимально запутанных состояний. В отличие от кубита забит характеризует нелокальную квантовую корреляцию состояний двух элементов, сохраняющуюся и в том случае, когда партнеры пары разнесены на большие расстояния.
Для определения максимально запутанного состояния двух спинов-кубитов воспользуемся далее разложением Шмидта (1.51). Тогда для оператора рА (и аналогично для рв) получим выражение
РА = XI c2i\ai)(ail (1.56)
i=1,2
где коэффициенты с2 являются собственными значениями оператора рА, они имеют смысл вероятностей найти элемент в чистом состоянии |с^). Поэтому энтропия запутанности теперь выражается через
44
Глава 1
энтропию фон Неймана соответствующего смешанного состояния:
Е(р) = - Sp РА log2 РА = - Sp Рв log2 PU = -Y с* 1о§2 С1 ¦ (!-57)
i=1,2
Число отличных от нуля собственных значений с2 приведенных матриц плотности рА (1.56) или рв называется числом Шмидта состояния \Фав)• В случае двух кубитов оно не превышает двух, для запутанного состояния оно равно двум. Если с2 = О или с\ = 0, то состояния |флв) являются незапутанными (сепарабельными). В этом случае из (1.53) для матрицы плотности чистого незапутанного состояния двух кубитов следует
\Фав){Фав\ = |«i)(«i| ® \(31}((31\. (1.58)
В качестве меры запутанности для двухкубитного состояния (1.45) можно также принять величину (7, называемую согласованностью (concurrence) и определяемую выражением
С = 2{ad — be) = 2cic2 = 2c\^Jl — с2, (1.59)
откуда получим
с2 = 1 + VI - с2 ^ o^C^l. (1.60)
Максимальное значение запутанности состояний для пары двухуровневых элементов достигается при с2 = 1/2, то есть при согласованности (7 = 1 оно составляет Етах(р) = log2 2 = 1 забит.
Полагая С2 = с\ = у^1/2, с помощью (1.51) и (1.52) получим для вектора максимально запутанного чистого состояния выражение:
\Фав) = , 1 |Л.2ч |(1 + 7^)(|0а0в) + |1л1в» +
V 2(1 + |'У| )(1 + |^| ) (1-61)
+
(7-«)(|U0b>-|0a1b>)}.
При 8 = —7 = 1 состояние \Фав) соответствует двухкубитовому антисимметричному синглетному EPR (A. Einstein, В. Podolsky, N. Rosen)-состоянию, а \Фав) — двухкубитовой суперпозиции симметричных
1.4. Запутывание квантовых состояний
45
тприплетных состояний типа шредингеровского кота. Среднее значение проекции оператора полного спина 'saz+'sb (2'Sz = <?z) в синглетном максимально запутанном состоянии
(i/>ab\saz +'SBz\'lpAB) = 0. (1.62)
Синглетное состояние для спинов является основным для антиферро-магнитного характера обменного взаимодействия J > 0.
Более сложные запутанные состояния могут образовываться из суперпозиции многокубитных состояний.
Запутанность квантовых состояний в силу своей нелокальное™, не может быть создана из незапутанных состояний или увеличена путем использования только локальных унитарных операций (то есть воздействием только со стороны А или В), а также классических принципов связи [1.28, 1.29]. Однако это не исключает возможность использование только локальных операций для обратимого преобразования запутанного состояния одной пары элементов рассматриваемой системы в запутанное состояние другой пары. Так для систем, состоящих из большого числа двухуровневых элементов, энтропия запутанности состояния может быть выражена через энтропию пар, которые находятся только в синглетном состоянии, число таких пар и будет определять число забит для этого квантового состояния.
