Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
Собственному представлению оператора спиновой плотности чистого состояния отдельного спина-кубита р соответствует диагональная матрица, выражающаяся через ортонормированные векторы состояния:
р(а) = |а)(а|, (1.32)
где двум его состояниям соответствуют матрицы плотности
1°>(°1 = (J о) , |1><1| = (о J) , (1-33)
при ЭТОМ
Spp(e*) = l, (1.34)
то есть для каждого значения а = 0 и 1 у кубита в чистом состоянии имеется только одно ненулевое собственное значение матрицы, равное 1.
Состояние ансамбля, состоящего из L кубитов, описывается вектором состояния в 2ь-мерном гильбертовом пространстве, представляемым матрицей с размерностью 2Ь х 2Ь. Такую же размерность имеет и матрица плотности ансамбля кубитов. Соответственно, число нулевых собственных значений в матрице плотности L-кубитового чистого состояния равно 2L — 1.
Для энтропии фон Неймана одного кубита с помощью (1.33) получим
S(p) = - Sp р(а) log2 р{а) = 0. (1.35)
Это значит, что энтропия чистого состояния имеет наименьшее возможное значение или что чистое состояние обеспечивает максимальную полноту информации о системе, и эта полнота сохраняется, если чистота (когерентность) состояния не разрушается. Сказанное справедливо и в случае чистого состояния самого общего вида.
38
Глава 1
При выбранном базисе в случае смешанного (некогерентного) состояния, в соответствии с (1.20), (1.32), матрица плотности получает диагональный вид
Р = • р(а) = ^0° , J2pa = 1,
(1.36)
и, следовательно, энтропия фон Неймана совпадает с энтропией Шеннона:
s{p) = н = -^2ра -log2pa. (1.37)
а
Существенное отличие возникает, если чистые спиновые состояния представляются произвольной суперпозицией вида:
а\ t> + Ц {) ^ ^ ,
а* Ъ*
{ф\ = e*(t I + ь* <4-1 = 1 о о
(1.38)
где предполагается выполнение условия нормировки
{ф\ф) = И2 + \ъ\2 = 1. (1.39)
Матрица плотности чистого состояния одного кубита в этом случае не является уже диагональной и в базисном представлении имеет вид
р = №>«.| = (? $) = | (l+_Z, ’i'-Г) f1'40»
или в операторной форме
p=l(l + sa). (1.41)
Ее недиагональные элементы (sx±isy)/2 описывают когерентность чистого состояния в этом представлении. Классический единичный вектор s с составляющими sx, sy и sz, который упирается в поверхность, называемую сферой Блоха, носит название вектора Блоха. Векторный
п /0 1\ ^ /0 -А
оператор Паули а имеет составляющие бтж = I ^ q Ь ~ I г* j 9
1.4. Запутывание квантовых состояний
39
^ — операторы-матрицы Паули. Таким образом, эволюцию матрицы плотности кубита можно выразить через эволюцию трехмерного вектора Блоха s = Sp(/5cr), который можно рассматривать как классическую модель кубита (или спина I = 1/2). Энтропия Шеннона такого чистого состояния (1.40) подобна энтропии смешанного состояния с вероятностями заполнения состояний (населенностями) роо = = М2? рц = \Ь\2 = 1 — |а|2, поскольку не учитывает недиагональных элементов poi = Pio = ab*, описывающих когерентность состояния. Она определяется выражением
Н(\а\2) = —И2 log2 И2 - (1 - И2) log2(l - И2), (1.42)
которое достигает максимального значения при \а\2 = \Ь\2 = 1/2, равного Н = log2 2 или одному биту.
Важно отметить то, что отличие матрицы плотности чистого состояния от матрицы плотности смешанного состояния заключается и в том, что матрица плотности чистого состояния имеет только одно равное единице собственное значение, а у матрицы плотности смешанного состояния отличны от нуля несколько собственных значений — населенностей отдельных парциальных чистых состояний.
Энтропия фон Неймана, определяемая через матрицу плотности /5, в отличие от энтропии Шеннона, инвариантна относительно выбора представления для матрицы плотности. Переходя в (1.18) к диагональному представлению, получим:
S(p) = - Spplog2p = - ^2 А„ log2 А„, (1.43)
П
где Ап = 0,1 — собственные значения матрицы чистого состояния (1.40). В результате, в согласии с (1.22), получим S(p) = 0 < Н.
1.4. Запутывание квантовых состояний
1.4.1. Чистые состояния
Одним из наиболее интересных свойств чистых квантовых состояний, принципиально отличающих их от классических, является запутывание (entanglement) состояний, определяемое своеобразной нелокальной корреляцией состояний квантовых структур. Эти состояния играют очень важную роль в различных процессах передачи и обработки
