Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
Оператор Uint(t) индуцирует запутывание состояний кубита и окружения, возникающее при t > 0. Именно образование запутанного состояния с окружением ответственно за процесс декогерентизации квантового состояния кубита, описываемого элементом матрицы плотное-ти poi(t).
58
Глава 1
Так, если начальное состояние кубита со|0) + ci |1), а состояние окружения |0л), то оператор Uint(t) генерирует запутанное состояние вида:
tW*)(co|0> + С!|1>) ® \0к) = С|0) ® | - + С1|1) ® |^>.
(1.93)
Перейдем к вычислению poi(t). Подставляя в (1.85) найденное значение pint(t) (1-90)—(1.92), получим
Poi(t) = 8р5в(|(?ж + гау) ¦ UWrlWmUintW-'itj) =
п - - \ {1М)
= ехр(га)о^) SpSB \^{dx + гау) • Uin\(t) ¦ ps(0) ® рв • Uint(t)j,
где использовано свойство инвариантности следа относительно циклической перестановки операторов и соотношение
+ idv) • U(t) = ^(Эх + icfy)exp(iu0t). (1.95)
Далее учтем, что
* As(0) ® Рв * Uint(t) =
= Д ехр(йЬ+& (t) - ПЪкек (*)) • ?s(0) ® Ur*(t) ¦ pBUint(t) (L96)
к
и произведем снова циклическую перестановку операторов под знаком следа. В результате получим
Poi{t) = ехр(го;о*)Д SpBрв* exp (i) - fibktUtj) 'Poi(O). (1-97)
к
При вычислении оставшегося следа воспользуемся формулой Ф. Блоха [1.1], согласно которой имеем точное выражение:
= ехр(-г^)’
(1.98)
1.5. Декогерентизация
59
где
г(0 = X^|^cth(^fc/2fcT) = ^4|Ы2 cth(hwk/2kT)1 ~ .
к к
(1.99)
Введя в рассмотрение спектральную плотность окружения 1(и) =
= — ^к) |§k |2j последнее выражение перепишем в виде
к
оо
Г(*) = J 4/(а>) (2п(ц, Г) + 1)1 ~ c°s^ ^ (1.100)
О
где n(u;,T) = (exp(/iu;/fcT) — I)-1 — среднее число бозевских возбуждений при температуре Т. Из (1.98) следует, что вклад тепловых и вакуумных флуктуаций в Г(t) оказывается разделенным, а перемножение временных шкал, обусловленных этими двумя механизмами, приводит к достаточно сложному процессу декогерентизации:
Poi(t) = exp(iu;o? - T(t))pOi(0). (1.101)
Конкретный вид зависимости T(t) определяется видом спектральной плотности. Если роль бозонов играют фононы кристаллической решетки, то их спектр ограничен сверху дебаевской частотой зд, а спектральную плотность можно представить в виде 1(и>) = аиоп ехр(—u>/u>d)- При п = 1 окружающая среда называется «омической». В этом случае явное аналитическое выражение для Г(t) может быть получено в низкотемпературном режиме, когда huD > кТ [1.50]:
Г(*) ~ 1п(1 + оPDt2) + 2 In } • (1-102)
Первое слагаемое здесь возникает за счет квантовых вакуумных флуктуаций, второе — за счет тепловых флуктуаций. С увеличением параметра hwo/kT процесс декогерентизации затягивается.
Можно выделить три основных режима декогерентизации:
а) «Спокойный» режим: t < , где Г(?) ~ u2Dt2 < 1. Флуктуации
мало влияют на декогерентизацию.
60
Глава 1
1
е
Тепловой
режим
0 ...............................................................
0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100
coDt
Рис. 1.3. Зависимость декогерентизации отдельного кубита при Ни>в/кТ = = 100. Хорошо видно три режима затухания.
б) Квантовый режим: о;^1 <t< h/kT, где T(t) ~ 2 Inuojyt. Декогерентизация обусловлена квантовыми вакуумными флуктуациями.
в) Тепловой режим: t > Н/кТ, где Г(?) ~ kTt/h > 1. Тепловые флуктуации играют основную роль.
На рис. 1.3 приведена зависимость ехр(—Ft) от t при hwo/kT = = 100 [1.50, 1.55].
В работе [1.50] отмечается также, что в отличие от рассмотренного случая для спектральной плотности вида 1(и>) = аио3 ехр(—lj/ljd), декогерентизация не затухает до нуля, а выходит на насыщение, величина которого определяется значением параметра hwo/kT.
Здесь мы рассмотрели процесс декогерентизации состояния отдельного кубита. Декогерентизация состояния кубитов в квантовом регистре была рассмотрена в [1.50, 1.52]. Основные результаты состоят в следующем.
Состояние регистра из L кубитов описывается оператором плотности вида
(1.103)
г ,3=0
Литература
61
где базисные состояния регистра |г) определяются как прямое произведение базисных состояний кубитов:
