Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 1
Равная смесь этих двух состояний р = (р0 + Pi)/2 инвариантна относительно нечетных смещений и оказывается запутанным смешанным состоянием по всей цепочке. Для определения максимального значения запутанности формирования Ер такого состояния достаточно теперь определить согласованность С для состояний кубитов в положениях j = 1, j = 2, которая равна С — 1/4 [1.38]. В указанной работе было также показано, что можно построить однородную запутанную цепочку и с максимальным значением С — 0,434467 и Ер(р)тах = 0,284934 забит.
Другой мерой запутанности является очищенная (distillable, puri-ficated) запутанность Ев{р) [1.29, 1.32, 1.39], определяемая наибольшим числом синглетных пар, которые можно экстрагировать из ансамбля с помощью классических и квантовых локальных операций очистки. Для чистого состояния запутанность формирования и очищенная запутанность совпадают и равны энтропии запутанности Е(р), которая определяет таким образом верхнюю границу эффективности очистки. Для смешанного состояния знак разности Е(р) — Ев{р) нельзя обратить с помощью только локальных операций. В общем случае значение Ер>(р) зависит от процесса очистки и для нее отсутствует универсальный способ ее вычисления.
Для необратимых преобразований были предложены и альтернативные подходы, в одном из которых для смешанного состояния вводится мера, называемая относительной энтропией запутанности 0 ^ Ел(р) ^ Ер(р), которая является мерой отклонения данного квантового состояния пары элементов А и В, описываемого оператором плотности рАв от незапутанного состояния с соответствующим сепарабельным оператором плотности рА ® рв [1-27, 1.29, 1.39]:
Er(p) = - min pab (l°g2 ip А ® Рв) ~ log2 Рав ), (1-70)
РА®РВ \ /
где минимум определяется по всем реализациям ансамбля, описываемого оператором (рА ®рв)- Относительная энтропия запутанности определяет верхний предел эффективности очистки запутанности.
В другом подходе вводится запутанность содействия (assistance) Еа, определяемая выражением [1.41]:
Еа(р) = тах^2рпЕ(рп), р ^
П
(1.71)
1.4. Запутывание квантовых состояний
49
которая является мерой ресурса запутывания, имеющегося в системе. В отличие от приведенных выше мер запутанности, обладающих свойством аддитивности, эта мера характеризуется свойством супераддитивности:
Ea{pabi ® РАВ2) > Ea(pabi) + Еа{рав2)• (1*72)
На существование формальной аналогии между понятиями термодинамики и понятиями запутанности обращается внимание в работах [1.29, 1.34, 1.42]. Отметим здесь аналогию между термодинамической энтропией, которая согласно второму началу термодинамики не может уменьшаться в замкнутой системе за счет внутренних процессов, и разностью энтропий Е(р) —Ер(р), которая не может уменьшаться в системе за счет только локальных операций. В другой формулировке [1.29] это можно выразить как аналогию между невозможностью создать обратимую тепловую машину, более эффективную, чем идеальная машина, рассмотренная Карно, и невозможностью лучшей обратимой очистки состояния, чем идеальная процедура, рассмотренная Беннеттом, Бернштейном, Попеску и Шумахером [1.32].
Обратим наконец внимание на одну важную отличительную особенность запутанных или несепарабильных состояний. В общем случае условная энтропия фон Неймана подсистемы А полной системы АВ, описываемой оператором плотности рав, при условии, что состояние подсистемы В известно, имеет вид [1.27]:
Sa/b = - Sp РАВ log2 РА/в = ~ Sppab log2 рлв + Sp рв log2 рв, (1-73) где
l°g2 Ра/в = log2 рав ~ log2CU 0 рв) (1-74)
— квантовый аналог логарифма классической условной вероятности.
Пусть система АВ находится в чистом состоянии, тогда ее энтропия фон Неймана Sab = — Sp рав log2 Рав — 0. При наличии запутанности состояний подсистем А и В энтропия запутанности Е(В) = = — SppB^og2pB > 0, и, следовательно, согласно (1.73), условная энтропия Sa/b оказывается отрицательной. Другими словами, в квантовом случае может возникнуть невозможная в классической теории информации ситуация, когда энтропия полной системы Sab может быть
50
Глава 1
меньше энтропии одной из ее частей Sb = Е(В). В этом случае собственные значения квантового аналога условной вероятности — оператора Ра/в превышают единицу, то есть не имеют смысла вероятностей. С другой стороны, если все собственные значения оператора рл/в ^ 1 (это необходимое и достаточное условие), то состояние полной системы сепарабельно, то есть не образует запутанных состояний. Это справедливо для любой размерности гильбертова пространства. Что касается взаимной квантовой энтропии Sa.b = Sa — Sa/b? то она? как и информация Холево D(p) (1.26), остается всегда положительной.
Таким образом, принципиальное отличие квантовой энтропии от классической, являющейся только мерой недостатка информации о рассматриваемой системе, состоит в учете квантовых корреляций типа запутывания состояний.
