Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
55
жайшими элементами. Подобно средней длине пробега электронов при рассеянии на дефектах и тепловых колебаниях решетки в проводнике, длина декогерентизации определяет «среднюю длину пробега» квантового состояния между нарушающими когерентность событиями, происходящих благодаря случайным воздействиям на квантовые элементы со стороны окружения.
Среди работ, посвященных общей теории эффектов декогерентизации и связанным с ними проблемам, появившимся в последнее время, отметим обзор М. Менского [1.49], а также работы [1.50-1.52].
1.5.2. Точно решаемая квантовая модель декогерентизации
Рассмотрим здесь более подробно процесс декогерентизации отдельного кубита, взаимодействующего с окружением, используя модельный гамильтониан типа гамильтониана Кальдейры-Леггетта [1.53], который представим в виде матрицы 4x4 (жирные символы), а именно:
Н = Hs ® 1в + Is ® Нв + =
= (tkv0/2)az <g> 1В + Is <Э У^иЪ+Ък + <Э {gkbt + gfik), f1-80)
k k
где гамильтонианы Hs и Нв описывают свободную эволюцию кубита и окружения в матричном представлении, 1^, и 1^ — единичные 2x2 матрицы-операторы, действующие, соответственно, на кубит и бозонное возбуждение, а третий член — билинейное взаимодействие между
ними. Напомним, что az = — диагональная матрица Паули,
b~j^ = ( 2 0/ И = (о 0) — бозонные матрицы к-й гармонической
' ' I? ' ' I?
полевой моды квантованного окружения, Ъ^Ъи = о) ’ =
= (°
\gk 0J
Гамильтониан (1.80) имеет характерное свойство:
(я5®1в,н) = (Т5(8)Я5,Н8в) =0, (1.81)
означающее, что никакой диссипации энергии квантовой системы не происходит. Процесс декогерентизации в этом случае называется адиа-
56
Глава 1
батическим. Реально он соответствует случаю, когда диссипация энергии происходит значительно медленнее, чем декогерентизация. Более сложная модель с произвольной операторной функцией S(az) вместо az была рассмотрена в [1.52, 1.54].
Состояние системы кубит + окружение описывается оператором плотности p(t), а динамика отдельного кубита — приведенным оператором плотности ps(t)i определяемым как след от оператора p(t) по степеням свободы окружения:
Ps(t) = SpBp(t) = ^2 Ри(*)1*)01> (!-82)
г,3=0,1
где |г), г = 0,1 — базисные состояния кубита, которые являются собственными состояниями гамильтониана Hs с собственными значениями Eq = —ftwo/2, Ei = hwо/2. Поэтому взаимодействие с окружением не влияет на населенности спиновых состояний, диагональные элементы матрицы плотности остаются постоянными: pu(t) = рц(0), а энтропия запутанности стремится к постоянному значению, соответствующему энтропии Шеннона. Эти состояния в рассматриваемом случае являются хорошими состояниями-указателями. Однако взаимодействие с окружением определяет в рассматриваемом случае динамику фазы и динамику когерентности состояния кубита, описываемой недиагональными элементами poi(t) = pl0(t).
Будем предполагать, что в начальный t — 0 состояния кубита и окружения некоррелированы, то есть оператор плотности представим в виде:
р(0) = ps(0) ® рв, (1.83)
где начальное значение приведенного оператора плотности кубита имеет отличные от нуля недиагональные элементы и когерентность
Poi (0) = + id у) • As(0)), а в качестве оператора плотности
окружения, рассматриваемого как система бозонных возбуждений, воспользуемся его равновесным значением при температуре Т:
рв = ехр(-Нв/кТ)/Spexp(-HB/kT) =
тт . _ уу ехр(-(ГшкЬ^Ьк/кТ)) (1-84)
к к Г (1_ехр(-^к/кТ))'
1.5. Декогерентизация
57
Зависимость от времени недиагональных элементов матрицы плотности определяется выражением:
p0i{t) = Sps(^(?* + wy) -SpB/>(?)), (1.85)
где оператор плотности p(t) удовлетворяет операторному уравнению
ihdp(t)/dt = [Н ,p(t)\. (1.86)
Далее перейдем, как обычно, к представлению взаимодействия:
где
U(t) =exp(-i(Hs®lB + ls®HB)t/hy (1.87)
Уравнение для оператора плотности в этом представлении принимает следующий вид:
ihdpint(t) / dt = [н sB(t),pint(t)^, (1-88)
гДе Л Л Л Л
Hsb(^) = U~1(t)HsBU(t) = ехр(гЯв^)Н5в ехр(-гЯв^) =
= hdz®^2 (gkbt exp{iwkt) + glbk exp(-iu>kt)). ^1-89^
k
Решение уравнения (1.88) можно записать, в чем легко убедиться путем непосредственной подстановки, в виде
Pint (t) = Uint (t)p(0)Uint(t), (1.90)
где
Uint(t) = exp((hdz/2) ®X(bfc6(0 -hZk(t))y (1.91)
к
= exP(iuJkt)). (1.92)
