История теории эфира и электричества - Уиттекер Э.
ISBN 5-93972-070-6
Скачать (прямая ссылка):
кабель имеет самоиндукцию L на единицу длины, что R обозначает его
омическое сопротивление, а С - емкость на единицу длины, V -
электрический потенциал на расстоянии х от одного вывода, а г - ток в
этом месте. Закон Ома с учетом индуктивности выражается уравнением
dV т di , г>-
-^ = Ldt+Rl'
более того, поскольку скорость накопления заряда в единице длины на
расстоянии х равна -di/dx и поскольку это увеличивает потенциал со
скоростью -(1 /С)дг/дх, мы имеем
,~,дУ _ дг dt дх'
Исключая % в этих двух уравнениях, мы имеем уравнение, которое впервые
получил Оливер Хевисайд"1 (1850-1925), а именно:
1 д2У = T(fV> RdV С дх2 dt2 dt-
Это уравнение известно как телеграфное уравнение^.
Томсон, в одном из своих писем*1 Стоксу, в 1854 году получил это
уравнение в форме, применимой к атлантическим кабелям, т. е. пренебрегая
членом, содержащим L. В такой форме это уравнение не отличается от
уравнения Фурье для линейного распространения тепла: так что известные
решения теории Фурье можно применить в новой интерпретации. Если
подставить
у - e2nt\/-l+Xx
^Кабель между Дувром и Кале проложили в 1851 г.; между Холихедом и Хо-
утом - в 1853 г. Первый Атлантический кабель, просуществовавший в течение
трех недель, был проложен в 1858 году, а второй и третий - в 1866 году.
2Phil. Mag. II (авг. 1876 г.), с. 135.
3Мы пренебрегли утечкой, которая не входит в наши настоящие цели.
4Ргос. R. S. VII (май 1855 г.), с. 382; Кельвин Math, and Phys. Papers,
II, с. 61.
Математическая теория электричества
275
мы получим
A = ±(l + -v/zI ){nCR)1/2;
а следовательно, типичным фундаментальным решением уравнения является
Форма этого решения показывает, что, если на одном конце кабеля приложить
регулярное гармоническое изменение потенциала, то фаза распространяется
со скоростью, пропорциональной квадратному корню из частоты колебаний:
тогда, поскольку различные гармоники распространяются с разной скоростью,
очевидно, что для обыкновенных сигналов не следует ожидать определенной
"скорости передачи". Если потенциал внезапно приложить на одном конце
кабеля, пройдет определенное время, прежде чем ток на другом конце
достигнет определенного процентного значения от своей максимальной
величины; однако несложно показать', что это запаздывание пропорционально
сопротивлению и емкости, которые пропорциональны длине кабеля: так что
запаздывание пропорционально квадрату длины, таким образом, кажущаяся
скорость распространения будет тем меньше, чем больше будет длина
используемого кабеля.
Случай с телеграфным проводом, изолированным в воздухе на полюсах,
отличается от случая с кабелем; поскольку здесь емкость маленькая, и
необходимо учитывать индуктивность. Если в общем телеграфном уравнении
положить
поскольку емкость мала, можно заменить величину под знаком радикала ее
вторым слагаемым. Таким образом, видим, что типичным фундаментальным
решением этого уравнения будет
у = e-(nCR)!/2х sin{2ni - (nCR)1/2x}.
у _ угх^-1+pt
то мы получаем уравнение
Rt
С = е ы smn{x-(CL)-1/2t}.
^Этот результат, действительно, сразу же следует из теории размерностей.
276
Глава 1
Это показывает, что любое гармоническое возмущение, а следовательно,
любое возмущение, распространяется по проводу со скоростью (СТ)-1/2.
Разница между распространением в телеграфном проводе и распространением в
океанском кабеле, как заметил Томсон, напоминает разницу между
распространением импульсного давления через длинный столб жидкости в
трубке, когда трубка твердая (случай с телеграфным проводом) и когда она
упругая, так что она способна к местному расширению (случай с кабелем,
причем расширение соответствует емкостному эффекту); в первом случае, как
это хорошо известно, импульс распространяется с определенной скоростью, а
именно, со скоростью звука в жидкости.
За работой Томсона по передаче сигнала по кабелям последовало в 1857 году
знаменитое исследование1 Кирхгофом распространения электрического
возмущения по телеграфному проводу круглого сечения.
Кирхгоф принял, что электрический заряд практически всегда остается на
поверхности провода и что ток равномерно распределяется по его сечению.
Его представление о токе было таким же, как у Фехнера и Вебера, а именно,
что ток состоит из равных потоков стеклянного и смоляного электричества,
которые движутся в противоположном направлении. Обозначая электрический
потенциал как V, заряд на единицу длины как е, длину провода как I, а
радиус его сечения как а, он показал, что V приблизительно определяется
уравнением^
V = 2elog (1/а).
Следующий фактор, который необходимо рассмотреть, - это взаимная индукция
элементов токов в разных частях провода. Принимая, как и Вебер, что
электродвижущую силу, индуцированную в
1Ann. d. Phys. С (1857), стр. 193, 251; Кирхгоф Ges. AbhandL, с. 131;
Phil. Mag. XIII (1857), с. 393.
2Его метод получения этого уравнения заключался в том, чтобы по
отдельности
подсчитать эффекты (1) от отрезка провода в пределах расстояния ? с
