Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
получим некоторый градиент), то А(х) = \lE, где ц есть скаляр, не
зависящий от х = (xj), и Е - единичная матрица **).
§ 4. Пусть наряду с m-матрицей А = А (х) рассматривается т-вектор-функция
а = а(х), и пусть A vi а таковы, что для каждой скалярной функции /(х)
некоторого класса C(v) можно найти такую скалярную функцию / = / (х),
чтобы было /* = а + Afx. Тогда, если / = g соответствует случаю / = 0, то
видно, что а является градиентом g. Таким образом, Afx при любой функции
/ есть градиент (и именно градиент функции / - g). Из сказанного в § 3
тогда следует, что А(х) = где ц = const. Наоборот, если существует
скалярная функция g (x) и постоянная ц такие, что а = gx и А (х) = то / =
g + р/ при любой функции / удовлетворяет равенству fx = o. + Afx.
*) Под rot у = rot у (х) подразумевается матричная функция ух - ух'
переменной х, представляющая всегда кососимметрическую m-матрицу (и
которая может быть заменена m-вектор-функцией х только для случая, когда
11гт(т - 1) = т, т. е. для обычного случая т = 3).
**) При доказательстве обозначим через Ак (х) го-вектор, представляющий
к-й столбец матрицы А (х). Так как вектор A (x)fx(x) должен быть
градиентом для каждого скалярного полинома / = /(ас) = jf(x,, хк, ...
...,хт) и, следовательпо, для каждого скалярного полинома / = /(хк) одной
переменной хк, то, положив g{xk) = fxj. (хк), увидим, что вектор
g(xk)Ak(x) представляет собой при любом к градиент любого скалярного
полинома g(xi) относительно скаляра х,-. Отсюда следует, что если вектор-
функции, представляющие собой градиенты, удовлетворяют условию
интегрируемости, то каждый компонент вектора Ак(х), кромо к-го, должен
обращаться тождественно в нуль, а к-й компонент вектора Ак (х) должен
зависеть лишь от А-ro компонента вектора х = (х,). Другими словами, го-
мат-рица А (х) должна представлять собой диагональную матрицу, в которой
к-й диагональный элемент - обозначим его через а* = а* (х) - является
функцией лишь одного компонента хк вектора х = (х,). Следовательно,
утверждение, что А(х) = цЕ, где р. = const, эквивалентно условию а, {х{)
= = ак (хк). Если же условие а*(х<) = ак(хк) не удовлетворяется, то
вектор А(х)}х(х) не может быть градиентом для одночленов /(х) = х,хА, где
i, к произвольны.
14
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
В соответствии со сказанным выше лг-вектор а(х) + A(x)v(x) представляет
собой градиент для каждой фиксированной пары а и А при любом градиенте v
= /* тогда и только тогда, если заданный вектор а(х) является градиентом,
а заданная матрица А (х) имеет вид рЕ, где Е - единичная матрица и р -
скаляр, не зависящий от X = (Xi).
§ 5. Пусть х = (xj) и у = (yj) суть два от-вектора. Отображение у - у(х)
области (я) на область (у) считается принадлежащим классу C[vl, если оно
является локально топологическим, а функция у = у(х) и локально
единственная обратная функция х = х(у) принадлежат классу C(v). (Тогда
отображение х = х(у) обязательно принадлежит классу 6'[v\) Заметим, что
локально топологическое отображение у = у(х), определяемое вектор-функци-
ей у (г) класса C(v), может и не принадлежать классу C[v] (с таким
примером, если тп = 1, мы встречаемся при рассмотрении отображения у = х3
области - 1 < х < 1 на область - 1 < у < < 1). В силу известных теорем о
неявных функциях отображение у = у{х) будет принадлежать классу Ctvl
тогда и только тогда, когда функция у (х) принадлежит классу C(v) и ее
якобиан det i/i (я) не обращается в нуль в рассматриваемой области
изменения х.
§ 6. Пусть г = (г,-) есть л-вектор, Н = Н(р) - скалярная функция класса
С<2) и р = (pi) - другой л-вектор. Предположим, что в рассматриваемой
области изменения р гессиан det (Нр.Рк(р))
не обращается в нуль. Так как гессиан представляет собой не что иное, как
якобиан градиента Нр(р) функции Н(р) по отношению к р, то отображение
г=г(р), определяемое функцией г - = Нр (р), принадлежит классу С[1].
Оказывается, что отображение, определяемое обратной функцией р = р (г),
может быть представлено в той же самой форме, что и отображение г = =
г(р) = Нр (р), т. е. существует такая скалярная функция L = = L(r) класса
С&\ что функция р(г) представляет собой градиент Lr(r).
Чтобы доказать это, определим L = L(r), полагая
L(r) +Н(р) = r-p {r-p= Zripi), (1)
причем р - р(г) представляет собой локально единственную обратную функцию
по отношению кг = г(р). Таким образом,
L(r) = r-p{r) -Я(р(г)).
Так как г = г(р) = Нр(р), то разность г - Нр (р(г)) обращается
тождественно в нуль и, следовательно, Lr(r) = р(г) плюс два члена, сумма
которых есть нуль. Этим доказано, что локально
§§ 1-8. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
15
единственное обращение р = р(г) отображения г - ЯР(р) может быть
представлено с помощью скалярной функции L(r) по формуле p = Lr(r). Так
как отображение г - Нр(р) принадлежит классу С[1], то отображение р =
Lr(r) принадлежит к тому же классу, так что функция L(r) принадлежит
классу Ог). Кроме того, произведение гессианов для скалярных функций L(r)
