Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Джона Гопкинса) и д-ру В. Каплану (Мичиганский университет), внимательно
прочитавшим рукопись или доказательства и оказавшим мне помощь своими
ценными предложениями и советами. Я считаю себя в долгу перед Комитетом
американского математического общества и перед Национальным научно-
исследовательским комитетом, сделавшими возможным опубликование этой
книги.
Аурел Уинтнер
Тэмворт, Н. X., сентябрь 1940
ГЛАВА I
ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Преобразования Лагранжевы производные Фазовое пространство Канонические
преобразования Канонические преобразования и пфаффианы Расширение
координатных преобразований Канонические матрицы Вращения
§§ 1-8 §§ 9-14 §§ 15-25 §§ 26-38 §§ 39-46 §§ 47-56 §§ 57-64 §§ 65-78
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Будем называть вектором а = (aj) упорядоченную совокупность
конечного числа скаляров aj. Под 771-вектором будем подразумевать вектор
с тп компонентами, расположенными в форме "столбца":
но не "строкй" (oi, Если Ъ = (bj) -другой ттг-вектор, то
через а - Ъ = Ъ ¦ а обозначим скалярное произведение 2a,jbj. Если а -
скаляр, то произведение аа = аа представит ттг-вектор (aaj).
Квадратную матрицу будем обозначать через С = (с*'), причем индекс i есть
номер строки и индекс к - номер столбца. Если число строк и столбцов
равно тп, то такую матрицу будем называть т-матрицей.
Если a - скаляр, то произведение ас = са представляет 771-матрицу (асй').
Операцию транспонирования матрицы С - (съ.') будем обозначать штрихом ',
так что С' = (Cih)*). Следовательно, если С' = С, то матрица С -
симметрическая. Символом представляется транспонированное произведение
АВ(^ВА) двух 771-матриц. Определитель матрицы С будем обозначать через
det С, так что условие det С ф 0 характеризует неособенную матрицу С, т.
е. такую, для которой существует обратная матрица
а =
*) Обычный штрнх ' в дальнейшем будет обозначать дифференцирование по
времени (.
12
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИМ ОПЕРАЦИИ
С-1. Единичную матрицу будем обозначать через Е = (е&*), так что е? = 1 и
е^1 = 0 при к ф i.
Если величина А есть /л-матрица и а - /л-вектор, то Аа представит /л-
вектор, который можно рассматривать как результат применения к вектору а
линейного преобразования А. Вместе с тем будем считать, что символ о А не
имеет смысла.
Очевидно, что АВс, где А, В суть /л-матрицы и с есть //i-вектор,
представит тп-вектор Сс, причем С = АВ. Аналогичным образом а-СЪ, где а,
b суть /л-векторы и С есть /л-матрица, представит скаляр а ¦ с, причем с
= СЪ. По определению транспонированной матрицы а сЬ = ЪС'а.
Символом 0 будем обозначать не только число нуль, но также и нуль-вектор
или нулевую матрицу.
§ 2. Все числа, переменные величины или функции, встречающиеся ниже,
будем считать вещественными, если не оговорено (или если не вытекает из
текста), что рассматривается область комплексных значений.
Множество D переменных /л-векторов х = (а:,-) в пространстве декартовых
координат будем называть областью, если это множество открытое, связное и
не пустое.
Будем говорить, что скалярная, векторная или матричная функция / = f(x)
от х принадлежит к классу C(v), где v - некоторое положительное целое
число, если в рассматриваемой области / есть однозначная функция, все
частные производные которой порядка не выше v, существуют и непрерывны в
области D. В случаях, когда недоразумения возникнуть не могут, мы не
будем явно указывать область D. Класс C(v+1) содержится в классе СМ.
Если / = f(x) есть скалярная, векторная или матричная функция класса СМ и
я, есть один из компонентов лг-вектора х = (xi), то символом fXi будем
обозначать частную производную / по Xi. Вместе с тем символ /* мы будем
использовать лишь в том случае, если функция j(x) является скаляром или
/л-вектс-ром. В первом случае (когда / есть скалярная функция) символом
fx = fx(x) будем обозначать градиент / по отношению к х. Таким образом,
/д представит собой /тг-вектор-функцию (/*¦), Для которой у'-й компонент
равен частной производной fXi. Во втором случае (когда / = (/0 есть /л-
вектор-функция /л-вектора х = - (хь)) символ fx = fx(x) будет обозначать
m-матрицу, строка которой с номером i состоит из компонентов градиента
скалярной функции fi по отношению к х = (а1;.).
§ 3. Очевидно, что для данной /л-вектор-функции у = у(х) класса СМ
существует скалярная функция s = s(x), градиент кото-
§§ 1-8. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
13
рой 5д;(х) совпадает с у{х) в том и только в том случае, если у(х)
удовлетворяет условию интегрируемости, т. е. условию симметрии у'х = Ух
матрицы Якоби, причем ух представляет собой гессиан = (Sxfcx,)
скалярной функции s(x) класса С1-2'1.
Условие r/\t = ух является именно таким, при выполнении которого ротор
rot у \х) обращается тождественно в нуль *).
Отсюда следует, что если данная матричная функция А = = А (х) класса
обладает тем свойством, что для каждой скалярной функции /_= f(x) данного
класса существует скалярная функция / - /(х) такая, что fx = Afx (т. е.
если при применении к любому градиенту преобразования А (х) мы также
