Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
и (4) отражает фундаментальное свойство инволюционного преобразования
(4). Обычно говорят, что отображение (4) области (р, s) на область (г, s)
представляет собой контактное преобразование. Слово "контакт" связывается
с однократным частным дифференцированием. Заметим, что соотношение (6)
между частными производными второго порядка не обращается в тождество в
силу одного только равенства (5).
ЛАГРАНЖЕВЫ ПРОИЗВОДНЫЕ
§ 9. Пусть R и Q суть области в пространствах изменения двух и-векторов г
- (г,) и q = (qi) соответственно, а Т - область изменения скалярной
переменной t. Пусть L = L(r, q, t) -такая скалярная функция, что л-
вектор-функция Lr (г, q, t) принадлежит классу С(1) в области, являющейся
произведением областей R, Q, Т *). Обозначим штрихом ' полную производную
"по времени" t.
Пусть q(t) есть такая га-вектор-функция класса С(2) в области Т, что
"траектория" q - q(t) в пространстве (q) лежит
*) Под произведением областей R, Q, Т подразумевается множество то-' чек
(?я + 1)нмерного пространства (г, q, г), для которого г, q, t являются
точками областей R, Q, Т соответственно.
2 А. Уинтнер
18 ГЛАВА 1. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
внутри Q, а "скорость" г = q'(t) лежит внутри R для всех t, принадлежащих
интервалу Т.
Тогда можно определить непрерывную в Т л-вектор-функцию \L]q = ([Z]91) от
t, положив
\IAq = Lq! Lq, [Z)]9 . = Lqi. LqI = 1 , . . . , Л, (1)
причем подразумевается, что L(q', q, t) выражено в функции t. Индексы g,
gt- в символах [ ]9, { обозначают не частное дифференцирование, но просто
принадлежат этим символам. Таким образом, г-компонент л-вектора [L\q
равен
S 2 Як + L q/t - L4i, (2)
где суммирование ведется по индексу к от к - 1 до к = п, а индексами q'j,
qj, I обозначается в правой части (2) частное дифференцирование функции
L ~ L(q', q, t), (3)
где
Я'- (Я/), Я= (?.)¦
л-вектор [Z], и его компоненты [Zv]gi будем называть лагран-жевыми
производными от L вдоль траектории q = q(t) в пространстве (д).
Из (2) или (1) можно легко вывести скалярное тождество (-L-)-q'Lq')' = -
Lt-\-q'[L]q (=^~' а'^ ~ 2 aibi^. (Л)
§ 9а. Тождество (4) указывает на скрытый параллелизм между t- и л-
вектором g - (д,). Введем поэтому (л-)- 1)-вектор q = = (gfe), полагая q0
= t, qt = qu ..., qn = qn, и пусть L(q', q) = = L(q', q, t). Так как qo =
t, qo' = 1, qo" = 0, то, применяя (2) к L,получим, что
[IJet = - Lu [L]q. = [L\q . , i = 1 n (L = L). (la)
Следовательно, тождество (4) можно переписать в следующей симметричной
форме:
(-L-fq 'WY=qrmq. (4а)
§ 10. Пусть g = g(g, t) есть л-вектор-функция класса С<2> в
(л + 1)-мерной области (g, t), имеющая отличный от нуля яко-
биан по отношению к д. Тогда
q - q(q,t) (5)
§§ 9-14. ЛАГРАНЖЕВЫ ПРОИЗВОДНЫЕ
19
является отображением класса С[2] для каждого фиксированного t. Кривая q
= q(t), упомянутая в § 9, отображается на кривую q = = q(t) таким
образом, что если Q обозначает якобиеву матрицу для q по отношению к q
при фиксированном t, то
q'=Q<i' + qu (6)
причем равенство
Q~q-q (det Q =j=0)
является тождеством относительно t в силу (5).
Имея функцию L, введенную в § 9, определим функцию L так, что _
L (q', q, t) = L(q', q, t) (7)
в силу (5) и (6). Тогда предположения о дифференцируемости для L,
сделанные в § 9, будут выполнены также и для L.
Более
того, исходя из (1) и (7), можно получить с помощью
непосред-
ственного дифференцирования, что *)
w = Q'-lw, (8)
где
w=[L]q, w = [I]-, Q = q- (det Q =p0).
§ 11. Нет необходимости указывать, что функция L, определяемая формулой
(7), не совпадает с функцией L(q', q, t). Даже если преобразование (5) -
(6) очень близко к тождественному преобразованию q = q, ?/_= q', то
функция L(q', q, t) не будет очень близка к функции L(q', q, t), т. е. к
L(q', q, t).
Действительно, пусть преобразование (5) - (6) очень близко к q = q, q' =
q' В том смысле, что (5) - (6) принадлежит семейству преобразований
q = q + ef + о(е), q' = q' + ef + o(e) **), (9)
*) Правило преобразования (8) латранжевых' производных можно
сформулировать, сказав, что в силу (б) и (7) л-вектор ведет себя при
отображении (5) так же, как ковариантный тензор в одном лишь пространстве
(q), а переменная t в формуле (5) не принимается во внимание. С другой
стороны, правило преобразования (6) вектора скорости не соответствует
преобразованию контрвариантного тензора в пространстве (?), если f входит
явно в формулу (5), т. е. если qt Ф 0.
**) Под о(е) подразумевается функция q', q, t, обладающая тем свойством,
что отношение о(е) /в стремится для всех рассматриваемых значений q\ q, t
равномерно к нулю при е -*¦ 0. Заметим, что даже в случае аналитичности
функции / первое из соотношений (9) не влечет за собой второе, так как
производная по t от о(е) в первом соотношении может не быть функцией типа
о (б); ср. с понятием "слабой окрестности" в вариационном исчислении.
2*
20 ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
где е > 0 - малый параметр, не зависящий от q, q', t, а / = - f(q' i Я>
