Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 7

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 202 >> Следующая

и Н{р) равно
(Lr. ,Л (г)) (HPiph(p)) = Е(= единичной матрице) (2)
в силу каждой из формул преобразования
г = Нр(р), р=Д-(г). (3)
Действительно, эти преобразования взаимно обратны и, следовательно,
матрица Якоби одного из них является обратной по отношению к матрице
Якоби другого преобразования. В силу (2) мы будем иметь, что не только
det(#P ,ph (р)) ф 0 в области изменения р, но также и det (Lr.r^r)) ф 0 в
соответствующей области изменения г.
В приведенном только что доказательстве существования L функция L(r) была
определена посредством формулы (1). Однако то требование, чтобы локально
единственное обратное отображение р = р(г) преобразования г-Нр(р) было
равно p - Lr(r), определяет не саму скалярную функцию L(r), но только ее
градиент LT(r). Отсюда следует, что если (1) не обращается в силу формулы
г = г(р) = Нр(р) в тождество по р, то разность между обеими частями (1)
равна константе в силу одной из двух (эквивалентных друг другу) формул
преобразования (3). Ниже мы будем всюду предполагать, что эта
произвольная аддитивная постоянная выбрана равной нулю.
§ 7. Пусть символ П обозначает операцию перестановки, при которой буквы
р, Н ж г, L заменяются в формулировках § 6 буквами г, L и р, Н
соответственно. Тогда П заменяет предположение о том, что дана функция Н
(р) класса 6'(2) с отличным от нуля гессианом, предположением о
существовании функции L (г) класса С<?> с отличным от нуля гессианом.
Аналогичным образом П заменяет предположение о справедливости равенства
г=г(р) = = НР(р) предположением о выполнении равенства р = р(г) = =
Lr(r). Формулы (1), (2), (3) переходят при перестановке П одна в другую.
Отсюда следует, что вместо Н(р) и отображения г - Нр(р) можно в качестве
исходных взять функцию L(r) и отображение р - LT(r). Тогда Н(р)
определится с помощью (1),
16
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
где г есть функция р, определяемая локально единственным обращением г -
г(р) данного отображения р = Lr(r) класса C[1J.
Так как двукратное применение 11 дает, очевидно, тождественную
перестановку и так как формулы преобразования (3) суть локально
единственные обращения друг друга, то ясно, что соответствие между Н{р) и
L(r) является инволюционным. Другими словами, если L(r)
соответствует Н(р), то Н(р) соответствует
L(r). Отсюда следует, что если 7ц (г) соответствует Hi{p)
и Ни(р) соответствует Lj(r) и вместе с тем Ьц(г) соответствует Нп(р), то
Яп(р) = Нг(р), Ьц(г) = 1л(г).
§ 8. Предположим, что одна из двух скалярных функций Н, L (класса С(2) и
обладающих отличным от нуля гессианом по отношению к л-векторам р, г)
содержит некоторый /-вектор s в качестве параметра и что одна из л-
вектор-функций Яр(р, s), Lr(r, s), рассматриваемых как функции л + /
скалярных переменных, принадлежит классу С(1). Тогда формулы § G
перепишутся в виде
p = LT(r,s), r=Hp(p,s), (4)
L(r, s)+R(p, s) = r-p, (5)
(LriTh(r,s))(HP.Ph(p,s)) = E. (6)
Функция r = Up (p, s) определяет для любой фиксированной точки /-мерной
области значений параметра s отображение класса С[1] л-мерной p-области
на л-мерную г-область. Точно так же пара соотношений г = Нр (р, s), s = s
определяет отображение класса С[1] (л + /)-мерной области (р, s) на (л +
/)-мерную область (г, s). Обе формулы преобразований (4) эквивалентны
друг другу.
Таким образом, г = r(p, s) и р = p(r, s). Если мы исключим из (5),
например, р, то увидим, что переменный л-вектор г и постоянный /-вектор s
связаны друг с другом скалярным тождеством
L(r,s) +H(p(r,s),s) - r-p(r,s) = 0.
Дифференцируя эго тождество по компонентам /-вектора s = (хД и используя
тот факт, что г - Нр (р, s) = 0 в силу (4), получим
Ls(r, s) +//s(p, s) = 0 (7)
(к чему приходим так же, как в § 6 при выводе соотношения
¦^г(г) = р(г) из соотношения L + Н - р-г).
Таким образом, мы получили, что градиентное соотношение (7)
удовлетворяется тождественно в силу (4) и (5). Однако
j 9-14. ЛАГРАНЖЕВЫ ПРОИЗВОДНЫЕ
17
оказывается, что соотношение (7) удовлетворяется также тождественно
(г) в силу только (4) или (гг) в силу только (5).
Действительно, так как (7) есть тождество в силу (4) и (5), а (5)
удовлетворяется, как это следует из сказанного в конце § 6, тождественно
в силу (4) с точностью до аддитивной постоянной (которая уничтожается при
дифференцировании, выполняемом при переходе от (5) к (7)), то ясно, что
(7) удовлетворяется тождественно лишь в силу (4). Таким образом, (г)
доказано. Что касается (гг), то достаточно заметить, что если три вектора
г, р, s предполагаются взаимно независимыми, то градиент произведения г-р
по отношению к s равен нулю. Следовательно, соотношение (7)
удовлетворяется тождественно в силу одного лишь равенства (5).
Аналогично можно показать, что соотношения (4) представляют собой
(г) не только соотношения, определяющие отображение области (р, s) на
область (г, s), но и
(гг) тождества, связывающие три вектора r, р, s, подчиненных одному лишь
соотношению (5).
Такая двойственность возможной интерпретации градиентных соотношений (7)
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed