Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
^-фиксированная л-вектор-функция, не содержащая е и равная, очевидно,
частной производной qE при е = 0. Условие, что L(q\ q, t) очень близка к
L{q', q, t), соответствует соотношению
L(q',q,t) = L(q',q,t)+ О (г), (10)
которое должно было бы выполняться в силу (9). Однако это соотношение
имеет место не для всех преобразований вида (9), но лишь для таких, в
которых м-вектор / - f{q', q, t) удовлетворяет при заданной скалярной
функции L = L(q', q, t) некоторому условию, а именно тому, что равенство
U-W)' = f[L]q, (И)
где f=f(q', q, t), L = L(q',q, t), тождественно удовлетворяется в (2л +
1)-мерной области (q', q, t).
Действительно, подставляя (9) в L(q\ q, t) и обозначая через к = k(q', q,
t) частную производную LR(q', q, t) при e = 0, увидим, что
к = f-Lq-\- f • Lq-.
Отсюда на основании (1) имеем
к = /¦ [Z/]g + (f-Lq
Следовательно, по формуле Тейлора
= L(q',q,t) +e{-f-[L]q+ (f-Lq,)'} + o(e), (12)
поскольку функция L(q', q', t) и ее производная Le(q\ q, t) обращаются
при e = 0 в L(q', q, t) и { } = Я соответственно. Так
как формула (12) справедлива для любой функции / = /(<?', q, t), входящей
в (9), то из (7) следует, что предположение (10) влечет за собой
обращение в нуль коэффициента
{ } = к= k(q',q,t)
при е в формуле (12). Это доказывает, что (11) представляет собой условие
для функции /, вытекающее из предположения о справедливости соотношения
(10).
§ 11а. Из вышесказанного следует, что если семейство преобразований (9)
оставляет функцию L(q', q, t) инвариантной при любом е, т. е. если
L(q\ q, t) = L(q', q, t) (13)
в силу (9), то n-вектор
/(?',?> 0 = Ш^о
§§ 9-14. ЛАГРАНЖЕВЫ ПРОИЗВОДНЫЕ 21
удовлетворяет тождеству (И). Действительно, условие (13) является
достаточным для того, чтобы выполнялось (10).
§ 12. Классический пример использования того факта, что (И) есть
следствие (13), будет приведен в § 96.
Обращаясь к другому примеру, предположим, что (13) или по крайней мере
(10) удовлетворяются и что
Lt = 0, ft = 0, т .e.L=L(q',q), / = /(<?',<?). (14)
Пусть кривая q = q(t), рассматриваемая в § 9, является
замкнутой в пространстве (q), т. е. что q{t) = q(t-\- т) для не-
которого периода т > 0. Тогда
X
0 = S/¦[?], Л, (15)
о
где подынтегральное выражение рассматривается как функция t вдоль
произвольной замкнутой кривой.
Действительно, f(q'{t), q{t)), [L(q'(t), g (i) )]9, рассматриваемые как
функции t, имеют период t, так что (15) вытекает из (И).
§ 13. Если Lt = 0, т. е. L = L(q\ q), то
X
Q=\q'-[L]qdt (16)
о
для любой кривой того типа, который рассматривается в § 12.
Действительно, (16) следует из (4) точно так же, как (15) следует из (И).
В частности, если семейство (9) определяется формулами q-q(t + e),
q'=q'(t + e),
то из / = (дЕ)е=о следует / - q'(t) и (15) сводится к (16). Это
согласуется с § 9а.
§ 13а. Пусть Lt = 0. Соединим две точки q = ql, q = q11 ориентированной
кривой q = q(t) класса C(2) в области (q). Тогда криволинейный интеграл
н
S Vbdq (17)
91
не зависит от пути интегрирования, а только от крайних точек q1,
22 ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
ди и значений q', q" в этих точках при условии, что кривая q(t) лежит
внутри односвязной области. Этот результат лишь повторяет (16).
§ 14. Вместо того чтобы рассматривать единственную кривую Ч = 9(0i как
это было сделано в § 9, рассмотрим семейство кривых q = q(c, t),
зависящее от некоторого числа т(т^ 1) параметров Cj, причем ге-вектор-
функция q - q(c, t) т-вектора с = = (cj) и времени t принадлежит классу
С(2) в рассматриваемой (т + 1)-мерной области (с, t). Пусть даны
дополнительно две произвольные функции tl = tl(c) и ?п = tn (с) класса
С(1) такие, что (с, t1) и (с, fn) лежат в области (с, t), если с
принадлежит области (с). Тогда, если L = L(q', q, t) - скалярная функция,
рассматривавшаяся начиная с § 9, то скаляр
Iй z11
S- ^Ldt= J L(q'(c t), q(с, t), t)dt, (18)
t1 t1
является функцией 5 = 5(c) класса C(I) в области (с).
По основной формуле вариационного исчисления мы будем иметь для функции
5(c) переменных cj, ..., ст тождество
н
65 = 2 (-l)v(?-g'-Mz=fv"v +
V=I
II t11
+ 2 (¦-1l)v(V)z=tv-6(7h=tv - S ([Дг-б7)(=л*. (19)
v=I ti
Оператор б в этой формуле определяется следующим образом:
ТП л
6 = 2^-, (20)
i=i дсi
так что
dF(c,t) = Ft(c,t)dt + bF(c,t).
Меняя порядок дифференцирования, можно установить, что (б-Р)' = б^'). Из
(20) также видно, что бF = dF, если F является функцией одного с.
Следовательно, тогда в (19) имеем
65 = dS, б/1 = dt1, б tn = dtu.
С другой стороны, бt dt, так как бF обпащается в соответствии
§§ 15-25. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
23
с (20) в нуль, если F является функцией одного только t, в частности,
если F = t.
Очевидно, что сумма пяти выражений в формуле (19) для бS = dS
представляет собой пфаффиан вида
gidci + ... + gmdcm,
где gj = gj(a, .. ., ст) = gj(c). Следовательно, формула (19) говорит
лишь о том, что коэффициент gj(c) этого пфаффиана совпадает с частной
производной Srj (с) функции S переменной с (так что, в частности,
