Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
?nv.
**) Фактически это вытекает из доказательства (см. § 316), которое
устанавливает существование трех интегралов (30). Действительно, если
динамическая система в евклидовом трехмерном пространстве инвариантна по
отношению к вращению вокруг двух координатных осей, то она инвариантна и
по отношению к вращению вокруг третьей координатной оси, так как любое
вращение вокруг начала координат может быть разложено на вращение вокруг
двух перпендикулярных осей (см. (21) § 78).
25*
38S
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
§ 391. Исключим из бга-мерного пространства (ц, 1) область с меньшим
числом измерений, в которых три функции 1)
становятся зависимыми в силу обращения в нуль всех трехстрочеч-ных
якобианов. Припишем произвольные фиксированные значения постоянным
компонентам С4 вектора кинетического момента (F\ Fn, F111) = 2|г- X Цг =
С. Тогда мы получим (6га - 3) -мерную область, так что консервативная
система (9i) порядка 6га сводится к системе порядка 6га - 3. Фактически
из теории пфаф-фианов следует, что эта консервативная система порядка 6га
- 3 эквивалентна системе порядка 6га - 4 = 2(3га - 2) и даже
консервативной гамильтоновой системе с 3га - 2 степенями свободы.
§ 391а; Для того чтобы можно было получить последнюю систему в явном
виде, представляется очевидным путь, на котором используется идея,
применявшаяся выше при исключении интегралов движения центра масс. В этой
связи заметим, что, как легко проверить, сумма га векторов т,|{, а
следовательно, также и сумма га векторов m&i = ц,- обращаются
тождественно в нуль в силу (И), где га - 1 векторов Xj произвольны. Таким
образом, возможность приведения системы (9j) порядка 6га к системе (18)
порядка 6 (га - 1) обусловлена тем, что 6 барицентрических условий (10i)
- (10г), представляющих собой инвариантную систему для уравнений (9i),
параметризуются с помощью 6 (га - 1) фазовых переменных так, что они
превращаются в тождества. В соответствии с этим основной путь при
редукции, указанной в § 391, это введение подходящих новых фазовых
переменных, с помощью которых инвариантная для (9i) система (Юз), где С =
(С1, С11, С111) фиксировано, параметризуется так, что она превращается
при этом в систему тождеств. Конечно, предпочтительны такие новые
переменные, в которых t]iv, ?tv выражаются как алгебраические функции
симметричной структуры. К сожалению, такая алгебраическая параметризация
векторного соотношения (Юз) не была когда-либо указана, по крайней мере
для га > 3 (что касается случая га = 3, то см. ниже § 394).
§ 392. Так как барицентрические соотношения (9i), (Юз) эквивалентны
соотношениям (18), (17г), где у = 1, .. ., га - 1, то все соображения,
приводившиеся в §§ 390-391 (в том числе замечание негативного характера в
конце § 391а), остаются справедливыми, если заменить ц, 1, га на У, X и
га- Соответственно. В частности, число степеней свободы консервативной
гамильтоновой системы, упоминавшейся в конце § 391, сводится к 3(га - 1)
- 2= = Зга - 5. Если га = 2, то это число степеней свободы равно 1 (что
согласуется в силу изложенного в § 343 (с 16j) - (Юг)
§§ 390-406. ИСКЛЮЧЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
389
§ 214). В то же время оно равно 4, если п = 3. Таким образом, уравнения
(9i) задачи трех тел могут быть приведены с помощью (10i) - (Юз) к
консервативной гамильтоновой системе с 4 степенями свободы. В явной форме
эта система будет выписана ниже. Однако остается, по-видимому,
неизвестным какое-либо явное представление подобной системы,
заслуживающее внимания, если
§ 393. Рассмотрим сначала коллинеарные (в указанном в § 329 смысле)
решения задачи трех тел. Если такое решение не является прямолинейным (в
указанном в § 321 смысле), то оно будет в соответствии с § 331
томографическим. Тогда результаты, приведенные в § 378, позволяют
получать это решение в явном виде, поскольку задача сводится к
консервативной динамической системе с одной степенью свободы,
определяемой уравнением (21i) § 268. Следовательно, достаточно
рассмотреть прямолинейный случай.
Тогда можно выбрать барицентрическую инерциальную систе-
му координат ? = (I1, ?п, ?ш), так что ?Н(г) = 0 = ??п(0 при
любых i и t. Соотношение (103) сводится к 0 = 0, а 3-вектор в (9i) можно
рассматривать как скаляр ( = ?<1). Тогда при (11) у '= 1, 2( = п - 1) -
скаляр, а уравнения (18) определяют консервативную гамильтонову систему с
п - 1 = 2 степенями сво-
В соответствии с этим число 4, упомянутое в § 392, можно заменить числом
2 в любом коллинеарном случае и единицей в коллинеарном непрямолинейном
случае задачи трех тел.
§ 394. Предположим теперь, что рассматриваемое решение ^ = = ?i(0 не
коллинеарное. Тогда вследствие аналитичности решений прямолинейные
конфигурации тел (т. е. сизигии, см. § 327) если и встречаются, то лишь
при изолированных t, и ими можно, следовательно, пренебречь. Таким
образом, три тела mi, m2, т3 образуют треугольник Л = A(t). Пусть этот
треугольник ориентирован так, что порядок mi, m2, m3 соответствует
