Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
интересовались также,
при каком конечном значении Z* по крайней мере одна из 6га аналитических
функций (22) приобретает особую точку и каков теоретико-функциональный
характер и динамический смысл такого особого момента Z*. Ниже будут
рассмотрены именно эти фундаментальные вопросы.
Так как дифференциальные уравнения (2i) нелинейны, то теоретико-
функциональные проблемы становятся безнадежно сложными, если только
допустить неограниченные комплексные значения Z или комплексные начальные
значения при вещественном to. Следовательно, мы будем всюду предполагать,
что, с одной стороны, вещественным t0 соответствуют вещественные
начальные значения, так что поскольку функция Н является вещественной при
вещественных (т], |), то и решение (2г) будет вещественным при
вещественном t. С другой стороны, функции (22) предполагаются
аналитически продолжаемыми, начиная от /о, вдоль вещественной оси t.
Конечно, это заставляет учитывать и комплексные t в -некоторой узкой
области вдоль рассматриваемого вещественного /-интервала. Но все же ниже
мы всюду будем считать, если нет соответствующего замечания, что /
вещественное.
§ 408. Формальным основанием следующих ниже рассуждений служит замечание
о том, что если через р обозначается полная масса 2/га,-, через ро -
наименьшее среди /га* > 0, а через h - постоянная энергии, равная #(rii
(Z0), .. ¦, En (Zo)), то
(3)
400
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
при.любом 2 в любом 2-интервале, в котором ни одно из !/гп(п-1)
расстояний рул = Pja(2) не обращается в нуль. Действительно,
где
тт mk
U - ^
Pjft
так что первое из неравенств (3) вытекает из (1). Аналогичным 'образом
Ни. = таГ*!]!,
так что второе из неравенств (3) вытекает из соотношения
поскольку 0 < С/ < р2 / г.
Обозначим через I интервал изменения 2, в котором решение (22),
определяемое начальными значениями т]г (20), ?*(2о) при начальном 2 ='
t0, принадлежащем I, существует, является аналитическим и таким, что
минимум (1) всех '/2га(га- 1) взаимных расстояний при всех 2 в I
превосходит некоторое фиксированное положительное число г*. Выберем любое
фиксированное 2 в I и рассмотрим решение (2i) при начальных значениях
rii(2), ^(t). Применяя локальную теорему существования и единственности
решении обыкновенных дифференциальных уравнений с голоморфными правыми
частями к новому начальному моменту 2, лридем на основании (3) к выводу о
существовании двух положительных чисел а*, р*. зависящих только от
заданного г* > 0, масс rrii, постоянной энергии h и обладающих следующими
свойствами *):
при всех 2, принадлежащих области 12 - 21 < а*, решение (22) существует,
является регулярным аналитическим и, кроме того,
М0-тк(г)1<Р', ||,-(2)-^(2-)|<р*, (4.)
ГУ)>2Г* (42>
Существенно то, что а*, р* не зависят от выбора 2. См. также § 79.
*) Эти свойства вместе с (4i) - (42) справедливы как в вещественном
интервале t - а* < t < i + а*, т. е. при | ? -¦ ? | < а*, так и на
комплексной плоскости (0 внутри круга радиуса а* с центром в точке t
вещественной оси. В последнем случае следует заменить в (1) р,* на
квадратный корень из суммы квадратов абсолютных значений трех комплексных
чисел ¦ljv{0-?*v(0i v = I, II, III (см. обозначения в § 313).
g§ 407-414. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ
401
§ 409. Таким образом, из теоремы Гейне - Бореля следует с очевидностью
(см. § 84), что если решение (22), определяемое начальными условиями
т]"(^о), ?i(?o), перестает существовать при стремлении t к некоторому
конечному вещественному t = t' или же по крайней мере одна из бге
аналитических функций (22) в этом решении имеет при вещественном t = t'
=ф= °° особую точку, то положительная функция (1) вещественной переменной
t должна приближаться сколь угодно близко к нулю при ?->- оо. Другими
словами, если t стремится к критическому значению ?* (убывая или
возрастая при to > t* или t0 < t* соответственно), то нижний предел lim
r(t) = 0. Так как переменная t может быть заменена на ±? -j- const, то
можно без потери общности предположить, что начальное t0 > 0 и что
критическое t* = 0, т. е. что lim r(t) =0 при t +0.
Нетрудно показать, что не только lim r(t) = 0, но и lim r(t) = = 0.
Действительно, допустим, что limr(f) = 0, но limr(?) > 0. Тогда будут
существовать число г* > 0 и последовательность h, f2, ¦ ¦ • такие, что
r(tm) > г* при любом т, причем ?т->~(-0при те-"- оо. Следовательно,
полагая t = tm, где т-произвольное фиксированное, и используя свойство,
указанное в конце предыдущего параграфа, увидим, что тогда (42) будет
иметь место при любом t в интервале |? - tm\ < а*, где а* > 0 не зависит
от т. Но тогда, если т выбрано настолько большим, что интервал 11 - tm |
< а* содержит предельный момент lim tm - О, то r(t) ^ '/гг* при любом ?,
достаточно близком к t = 0 и, следовательно, limr(?) ^ '/гт-*. Так как
это противоречит предположению lim r(t) = 0, г* > 0, то справедливость
условия lim r(t) = О доказана.
§ 410. Нетрудно заметить, что стремление r(t) к нулю при ? -"-1-0
