Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
положительному направлению. Обозначим через 0j = 0i(f) ориентированный
внешний угол в вершине, где находится масса пц. Тогда 20; = 0, и если |Д]
=¦ \A(t) | обозначает площадь треугольника Л = A(t), то
п ^ 4 (см. § 391а).
боды.
2 2 2
(31.)
(31а)
390
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
где (г, /, к) допускают три циклические перестановки чисел (1,2,3), а Рг
- длина стороны треугольника, противоположной по отношению к вершине пц,
так что если использовать обозначение (З3) § 314, то = pjk-
Барицентрические позиционные векторы вершин треугольника А = А (?) суть
?i = ?i(0, так что плоскость П = П (?) этого треугольника, содержащая
всегда точку | = 0, изменяется вообще со временем. Если решение |i = |i
(t) не обладает инвариантной плоскостью, т. е. оно такое, что
кинетический момент С равен нулю, то это решение является обязательно
плоским (см § 326). Поэтому можно принять плоскость его движения за
координатную плоскость (I1, Iй). Обозначим в этом случае ориентированную
плоскость (I1, |и) через П. Если же С Ф 0, то обозначим через П,
инвариантную плоскость С-| = 0, ориентированную в соответствии с (6), (7)
§ 323. Из (6) § 323 вытекает, что если решение плоское, то П.
совпадает с плоскостью (I1,!11) и при
С = 0, так что П(г) = П, при любом t. Таким образом, П* -
вполне определенная неподвижная плоскость, проходящая через центр масс
независимо от того, является или не является решение плоским.
Обозначим через l = l (t) наклонность плоскости П = 11(f) треугольника А
= A(f) по отношению к фиксированной плоскости П.. В частности, l(?) = 0,
если все три тела пц лежат в плоскости П., так что L(f) =0 тогда и только
тогда, когда решение плоское.
Консервативные гамильтоновы уравнения с 3п - 5 = 4 степенями свободы,
упоминавшиеся в § 394, можно записать, используя координаты l, pi, рг,
рз, в следующем явном виде:
Г = - Яг, }
Рг = -Яр ., р/= Яр ., * = 1,2,3, } (32)
где через I, Pi, Рг, Рз обозначены канонические сопряженные с этими
координатами импульсы, а функция Гамильтона равна*)
*) Поскольку первый член в (33) содержит множитель C^sin2!., он считается
равным нулю при | С | == 0 или при sin i = 0, хотя тогда (33) содержит
выражение sin(Q + ...), не имеющее смысла. Однако при \С\ = О
решение обязательно плоское, т. е. тогда i = 0 при всех г. В то же время,
если решение неплоское, то из соображений, связанных с аналитичностью,
вытекает, что i = i(t) может обращаться в нуль лишь при изолированных
значениях г. Таким образом, первый член в Н или обращается в нуль
тождественно (для плоского решения) или может иметь особую точку лищь рри
изолированных значениях f (для неплоского решения).
§§ 390-406. ИСКЛЮЧЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
391
И = Л (1, Р2, Р3,1, Pl) р2, р3) =
IС12 sinzi Р? . n / I 0.1 - в к
-2
rrii \
41Д | ТП{ '1^1 sin 1
+ Pft ~ 2PjPfe cos 9г
+
2nii
I Iг\ V ( \ sin(r)i |
+ С cos i >j--------------------------) ----------(-
\ Pt Pj / 3rrn
2 2 1 2
Pi + Ph - yPi mimh
+ |C|2cos2i S ----------------------- 2------¦ (33^
36m,-p2 p2ft " pi
Ееличины Д, 0i, 02, 0з в этой формуле выражаются согласно (31 j) - (3I2)
как функции pi, рг, рз, если \С\ ^ 0 фиксировано и если
2/i jh - /l23 + /231 + /312, (34l)
Pi = I ift I 1=3 Pjft- (342)
Проверка того факта, что консервативная гамильтонова система (32) с 4
степенями свободы эквивалентна в силу (10i) - (Юз) консервативной
гамильтоновой системе (9i) - (92) с 3/г = 9 степенями свободы, требует
лишь последовательного дифференцирования и алгебраических преобразований.
Эти элементарные, но громоздкие выкладки мы опустим. В частности,
оказывается, что гамильтоновы функции в (9i) и в (32) совпадают друг с
другом после применения геометрических (или, скорее, кинематических)
формул преобразования, связывающих координаты 1, pi и соответствующие
импульсы I, Pi с трехмерными векторами ii, щ-,
§ 395. Функция Лагранжа
L = L(<f, pi', р2', рз', I, pi, р2, рз), (35)
соответствующая гамильтоновой функции (33), может быть получена на
основании (2i) § 15 после того, как импульсы I, Р< будут выражены через
скорости i', р/ и координаты i, р^ (с помощью (12) § 15). Однако
окончательное представление импульсов через скорости и координаты слишком
громоздкое и никогда в явном виде не использовалось. Но, как бы то ни
было, четыре консервативных лагранжевых уравнения |X]l = 0, [L]p. = 0, i
= 1, 2, 3, описывают неколлинеарную задачу трех тел, причем
392
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
искомыми переменными служат наклонность i = i (t) плоскости Г1 = П(?) по
отношению к неподвижной плоскости П. (см. § 394) и три взаимных
расстояния pi = Pi(f) в плоскости П = 11(f), определяемой тремя
барицентрическими инерциальными вектора-
§ 396. Весьма интересно, что в последних уравнениях участвует лишь один
эйлеров угол i. Действительно, формула (23) § 79 показывает, что для
определения относительного положения двух плоскостей 11(f), П, требуется
знать кроме наклонности i(t) также и узел v(f). Однако кинематическое
