Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
следствие возможности приведения (9i) к. виду (32) состоит в том, что при
использовании факта постоянства кинетического момента, т. е. соотношения
узел v(f) плоскости n(f) по отношению к П, исключается.
§ 397. Конечно, значения узла требуются для определения трех
барицентрических позиционных векторов Однако из операций, ведущих от (9i)
- (Юз) к (32), следует, что если решение неплоское (в ином случае не
нужны ни i, ни v), то
Если же решение приведенных уравнений (32) известно, то правая часть (36)
оказывается в силу (311) - (31 а) известной функцией f, так что v = v(f)
находится при помощи квадратуры.
§ 398. Если рассматривать только плоские решения задачи га тел, то Зга -
5 степеней свободы (см. § 392) можно заменить меньшим числом 2га - 3.
Прежде всего, если решение коллинеарное, то те же рассуждения, которые
использовались в § 393, показывают, что число Зп - 5 сводится к и - 1 в
случае решения, отличного от прямолинейного, и к 1 в случае
прямолинейного решения. Предположим поэтому, что решение не является
коллинеарным, и выберем плоскость движения в качестве координатной
плоскости (I1, |п). Тогда I, и согласно (11) также и Xi - двумерные
векторы. Следовательно, уравнения (18), где j = 1, ..., га - 1, описывают
тогда консервативную динамическую ристему с 2га - 2 степенями
ми ii = ii (t).
2ii X t)i = С (С - фиксированная постоянная),
(36)
§§ 390-406. ИСКЛЮЧЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
393
свободы и допускают интеграл
S°(^ У? - X?Y/) = С111 = ± IСI,
к которому сводятся в силу равенства 0 = Xj11 три скалярных интеграла,
соответствующих (17z). Таким образом, исключение кинетического момента С
приводит к консервативной системе порядка 2(2га - 2) - 1 = 4га - 5.
Вместе с тем в соответствии с теорией пфаффианов (см. замечание в конце §
391) эта консервативная система порядка 4га - 5 эквивалентна системе
порядка 4га - 6 = 2(2га - 3) и, более того, консервативной, гамильтоновой
системе с 2п - 3 степенями свободы.
§ 399. Если п = 3, то эта система с 2га - 3 = 3 степенями свободы может
быть выписана на основании изложенного в § 394 в явной форме.
Действительно, согласно примечанию в этом параграфе функция (33)
приводится в плоском случае к виду
Н^Н (Р,, Р2, Р3, Р1, ра, р3) = i 2 тГ' (Р* + Р * - 2РДЧ cos 0,) +
Pi Pfe \ sin 0i
+ lcl 2 (~- )
' Pft Р;
/ 3mi
2.2 1 2
Pj + Pft -- Pi
TTljfTlfi Z
Pi 36raiip2.p2A
\C\* , (37)
где 0j = 0i(pi, Рг, Рз) в силу (31i) - (31z). Но тогда число степеней
свободы системы (32) понижается с 4 до 3. Это вытекает из того факта, что
частные производные Hlt Hi функции (37) равны тождественно нулю, и первые
два из восьми уравнений (32) сводятся к I = const, i = const.
Очевидно, что если положить Р = р, р = q и
gii = rn"1 -f raift-1 , gik = -mf1 cos 03, j Ф кф г, (38)
то (37) представится в виде (7) § 157, причем выражение
-Zf<(q)Pi-V(q)
Соответствует двум последним членам
|C|Z...-Z.
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
в (37). В частности, условие обратимости (/') = (0) (см. § 158)
удовлетворяется лишь при С = 0.
Легко установить с помощью (31t) - (312), что матричная функция (gih) =•
(gki) от (pi, pz, Рз) всюду положительно определенная, так как р< < Pj +
Ph. В частности, обратная матрица (gik) = О?**)"1 существует. Ее элементы
являются однородными функциями от (pi, р2, Рз) нулевой степени, так как
этим свойством обладают в силу (31i) и (38) элементы матрицы (gih).
§ 399а. Предположим, в частности, что С = 0 (так что решение обязательно
плоское). Тогда (37) упрощается и приобретает вид II =Т - U, где
V-. m\тпъ
- -
^2 2
2
в силу (38). Следовательно, если постоянная энергии h фиксирована, то
данная задача становится эквивалентной задаче о нахождении геодезических
линий на трехмерном римановом многообразии, на котором квадрат элемента
дуги дается формулой (13) § 179, где д,- = р,-. Согласно изложенному в §
178 соответствующая функция Лагранжа и постоянная энергии равны
L = Т + П, H = (39)
где
1
Т =- 2 2?"PfPh, О fa О
Сл
и точками обозначаются производные по длине дуги вдоль геодезической
линии.
§ 400. В качестве примера рассмотрим те же коллинеарные решения задачи
трех тел, для которых не только кинетический момент С, но и постоянная
энергии h равны нулю. Тогда
%ih - 2(U + h) gih - 2Ugih,
где
и=У-^
Pi
Следовательно, функции от (pi, p2, рз) - однородные степени u =¦ -1, так
как gik являются функциями нулевой степени (см. § 399). Применение же
(16) § 159 к (39) § 399а приводит
§§ 390-406. ИСКЛЮЧЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
395
к соотношению
( S 2>*р<р*у=(-1 + 2) (o+^W
т. е. к
S 2 2 S
где х - длина дуги, с - постоянная интегрирования и точкой обозначается
дифференцирование по s. Так как
Последнее соотношение представляет собой неконсервативный интеграл,
отличный от интеграла энергии
соответствующего (39).
§ 401. К аналогичному результату можно прийти в случае, когда лишь
предполагается, что h = 0, а п и С произвольны (так что решение не
обязательно плоское).
Действительно, если постоянная энергии h имеет произвольное фиксированное
