Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 146

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 202 >> Следующая

значение (Щ0), то уравнения
задачи п тел сводятся согласно (13) § 179 к уравнениям геодезических
линий на 3-мерном римановом многообразии, на котором квадрат элемента
дуги равен
Следовательно, если h = 0, то коэффициенты при (d|i)z оказываются
однородными функциями степени а = -1. Повторение же вывода соотношения
(40) при h - 0 приводит к интегралу
gih -¦ 2Ugih,
то
(40)
miti =
где - 3-вектор и
dsz = E2(t/ + A) nij (d|,)z, * rrijmh
(41)
396
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
причем
§ 402. Однако было бы ошибочным полагать, что интеграл (41) задачи о
геодезических линиях при h = 0 содержит что-либо новое. Действительно,
(41) можно переписать в виде
Однако в силу связи, существующей между временем t и s( = t) (см. (10) §
176)), последнее соотношение совпадает с соотношением, к которому
сводится (7i) § 315 при h = 0.
С помощью (38) и (31<) можно также установить, что (40) эквивалентно
соотношению
поскольку J можно представить в виде (12г) § 333, где pjfe = р<.
§ 403. Из соотношений (10i) - (Юз) вытекает для общей задачи трех тел
элементарный геометрический факт, который независимо от (10i) - (Ю3)
можно установить следующим образом. Заметим прежде всего, что три
векторных уравнения
если только определить 3-вектор = 1.(0 и скаляр х = х(0 по формулам
s = 1,
где
/ = 2miliz.
Следовательно, (41) эквивалентно соотношению
i= 1,2,3,
(420)
можно записать в виде
(42i)
(42*)
Pi - I li - Ih |
(1,2,3,), (2,3,1), (3, 1,2),
? ¦ = 2 miPi It: 2 (tm)ipi,
x = 2m*Pi : П Pii
(43,)
(43?)
§§ 390-406/ ИСКЛЮЧЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
397
Действительно, из (42г) видно, что в явной форме уравнения (420), где
к числителю в правой части и используя обозначения (43j) -(43Д, придем,
очевидно, к (42Д.
§ 404. В соответствии с (42Д любая из трех сил i - 1, 2, 3, равна при
любом t произведению скалярной функции (=jtm.,-pi3) на 3-вектор ?* - ?",
причем ?, = l,(t) не зависит от индекса ?. Другими словами, для каждого
решения gj = ?*(?) задачи трех тел все три гравитационные силы,
действующие на пи, m2, т-з, направлены к некоторой точке = l*(t)
пространства Об этом факте и говорилось в начале § 403.
Точка (t) определяется, конечно, единственным образом при
всех t, за исключением моментов t = t° сизигий (см. § 327), и называется
центром сил. Хотя (43i) определяет единственную точку (t) также и в
момент t =¦ t° сизигий, но мы будем считать все же, что центр сил в этом
случае не определен.
Конечно, центр сил не имеет ничего общего с центром масс, совпадающим при
всех t с точкой ? = 0. Действительно, центр сил совпадает согласно (43Д с
центром масс не тел mi, тг, тз, а трех фиктивных тел с массами mipi3,
имеющих те же барицентрические координаты ?i, что и т,.
§ 405. Так как моменты сизигий исключены, то det (?i, ?2, ?3) ф 0.
Следовательно, если все три |i, ?2, ?3 таковы, что не только
записываются следующим образом:
Р? т 2 (li - h) = 0
но также
Swiiii = 0, 2m,-pi3li = 0,
то величины mjpi3 / т,, т. е. р,-, не зависит от индекса i и наоборот. В
силу (43t) и (42г) это означает, что центр сил может
398
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
совпадать с центром масс только в те моменты, в которые треугольник,
образованный тремя телами, равносторонний.
Очевидное обобщение этих рассуждений показывает, что одно из трех тел,
например т3, находится на одной прямой с центром сил и центром масс в те
и только те моменты, в которые конфигурации тел представляют собой
равнобедренный треугольник. Разумеется, (19j) § 344 может и не иметь
места.
§ 406. Можно сразу найти также и те конфигурации, для которых центр сил
(431) совпадает с центром масс в случае сизигий (исключенном в § 404).
Действительно, если все mi располагаются на прямой линии, то можно
считать скалярами (=|,-1) и предположить, что Si < Ь < Ь• Тогда
в силу (42з). Следовательно, в соответствии с последней формулой в § 322а
= -m3pz - тгр3,
= mi р3 - т3ри (х|з = mzpi + mip2,
где
р. = Swii.
Подставляя эти выражения для в (43i) и замечая, что рг = - pi + Рз, сразу
найдем, что |, = 0 тогда и только тогда, когда отношение Я - Рз : pi
является корнем уравнения
mi {тг + т3) Я4 + mi(m3 + 3mz)Я3 + Зтг(пн - т3)Я2 -
- m3(mi + Злг2)Я - m3(mi + mz) = 0 (45)
(но не уравнения (И) § 358, как можно было ожидать).
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ
§ 407. Положим вдоль данного решения задачи п тел
r(t) = г = Min(piZ, Pl3, .. ¦, Pn-l, n) (1)
(Pjft = pjft(t)). где Pjft = | Sj - Sft |, И если
Д = m?4i-U{|i.......Sn),
1§ 407-414. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ
399
то согласно § 320
Л;=-Яб., b'=tfv
(2i)
(2*)
Так как частные производные функции Я(тц, |п) зависят аналитически от тщ
..., то в соответствии с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений
любое решение (2г) уравнений (2i) будет аналитическим по Z.
Мы предполагали всюду выше, что решение (2г) уравнений (2j) задается в
некотором конечном или бесконечном /-интерва-jre. Мы не задавали ранее
вопрос о том, на каком it-интервале существует решение (22),
соответствующее заданным начальным значениям ть(/о), при Z = /о. Мы не
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed