Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
+ = i = 1,- 1, (lli)
М *
где
(Ш)
причем 'Я*! обозначает в (lli) градиент скалярной суммы (Иг)
относительно хи а символ 2' обозначает суммирование по всем
индексам к = 1,1, кроме к - i.
Действительно, подстановка (62) в (7) приводит к соотношениям
"
rriiXi--------------= Ux .,
И
или же
/гапц-1 2° mix" = 1°UX.,
2,°nij mn
поскольку 1-------------= -¦ в силу (Ьз) и (4i). Вместе с тем в
р р
соответствии с (5), (4i) - (4г) и смыслом символа 2' имеем
71-1
гт ¦ст/ Xi
Ux .= 2j mimh - -mnm
7 .7Ti. - .т.- 3
A=1 |*A-*(|3 l^l3
и, следовательно,
2°UX.= - mnI,0jnj -p-.,!
§§ 340-347. ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
319
поскольку двойная сумма в Л°их. оказывается равной нулю в
силу ее кососимметрической структуры. Из четырех соотношений,
содержащихся в последних трех формулах, видно, что
" I / I * Xi ю' ( xk xi xh \
+{m"+m,) -(12!
i = 1,..., n - 1 (кф i).
Наконец, сравнение правой части (12) с (Иг) подтверждает справедливость
(lli).
§ 343. Пусть п = 2. Тогда существует только одно (га - 1 = 1) векторное
уравнение (12), а его правая часть обращается в нуль. Следовательно, если
через * обозначена единственная переменная xi = xi, то можно записать (1)
и (12) в виде
х = Ei - Si х" = - (m, + ли) -= Vx, (13)
И3
где
У _ я"1 + т2 _ р
" |*| _ |*|
Если за единицу массы примем р. = Лггц, то V =' |*|-1, так что получим
уравнение *" = Vx задачи двух тел, рассмотренной в §§ 241-312.
Смысл уравнения (13) заключается в том, что задача п = 2 тел может быть
сведена к задаче о движении единственного тела в статическом
гравитационном поле, обладающем радиальной симметрией и создаваемом
гипотетическим телом р. Это тело занимает положение "Солнца" тп - шг и
имеет массу, равную сумме тi + т2 "планет" /щ и т^.
Переход от притягивающей массы тп2 к большей массе р = - пц-\- тпг влечет
за собой, конечно, изменение исходных ла-гранжевых уравнений, так как
вводится дополнительная сила.
Конечно, (13) остается справедливым при перемене местами индексов 1 и 2,
так что за "Солнце" может быть принята любая
ИЗ МаСС 77li, 7712.
2
772-1 77117712
Так как р = mi + m2, то mi =---------------------, и в силу (5),
р р
(62) интегралы (9i), (9г) можно записать для уравнения (13)
320
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
в виде
1 " т i + m2 mi + m2
хг j-- -------------------------П, (14i)
2 \х\ тттг
7711 + 7712 , , . .
гХ/ = -- С. (14г)
771^77^2
§ 343а. Если п = 3, то (1) и (12) перепишутся в виде
xi - Ei ?з, х2 = Ъ Ез, (15i)
xl'= qilXl + 312^2, Хг= qziXi + 322*2, (152)
где через з,ь обозначены четыре скаляра
771а + 771з 771р
3 аа - Зар =
|*а|3 \Xi - Х2\3'
771 р 771 р
|j!l - JJ2 | 3 |*р|3'
И =/= Р = 1, 2,
(16)
зависящие от двух неизвестных вектор-функций xi, Хг от t (так что
уравнения (15г), конечно, нелинейны).
§ 344. Можно ожидать, что уравнения (15г) задачи трех тел упростятся,
если два векторных уравнения (15г) переходят одно в другое при перемене
местами индексов 1 и 2. Это будет тогда п только тогда, когда
3" = ?22 И 312 -- 321 (17)
тождественно по t.
Если дополнительно х± X х2 = 0, так что два вектора х±, Хг коллинеарны
при любом t, то формулы (15i) показывают, что такое решение будет
коллинеарным в смысле определения, данного в § 329. Из (11) и (15)
вытекает тогда, что |:ei| = |:f2|, т. е. что 7713 находится при любом t в
середине отрезка т\тг. Если же 3i2 = 0, то (16) показывает, что |xi|
=Jjii - хг\ = \хг\, т. е. что три тела 77ii, m2, т3 образуют согласно
(15i) при любом t равносторонний треугольник. Следовательно, если для
уравнений (15г) удовлетворяются условия симметрии (17) и если
дополнительно Xi X Хг = 0 или 312 = 0, то три тела движутся так, что они
образуют конфигурацию, остающуюся томографической самой себе при
изменении t. Ниже (см. §§ 369-382) будет изложена общая теория
томографических решений, так что мы ограничимся сейчас
§§ 340-347. ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
321
случаями, когда
Xi X х2 Ф 0, (18i)
Чп 0. (18г)
Целью дальнейшего анализа является выделение всех тех решений задачи трех
тел, для которых условия симметрии (17) сочетаются с условиями (18i) -
(I82).
Назовем решение задачи трех тел равнобедренным, если три тела образуют
при любом t равнобедренный треугольник, который может изменять свои
размеры и положение вместе с t и, кроме
того, не вырождается в прямую линию и не является ни
при ка-
ком-либо t равносторонним. Тогда упомянутая выше проблема заключается в
выделении всех равнобедренных решений для случая двух равных масс в
основании. Действительно, из (16) видно, что условия (17) эквивалентны
двум условиям
лг1 = пг2, (19i)
\хх\ = |лга1, (192)
где ]xi[, \xz\ равны согласно (15Д длине сторон треугольника,
расположенных против масс ти т2.
Однако оказывается также (§ 389), что равнобедренные решения возможны
лишь тогда, когда массы двух тел равны менаду собой.
§ 345. Два вектора (15Ц удобно заменить их линейными комбинациями 7г (xi
-f- х2) и Va (xi - х2). Обозначим
Xi = * (2i-f х2), Хг = ^ (xi - х2), (20i)
