Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
плоскости (?, /) нельзя провести кривую / = f(t), лежащую целиком в
верхней полуплоскости (/ > 0) и вогнутую снизу (/" < 0). Поэтому или
функция in1 = in1 (t), а вместе с тем и решение (3) существует лишь в
ограниченном промежутке изменения t (но не при всех -оо < t < оо), или же
при некотором конечном / = ?° происходит столкновение (в этом случае один
из знаменателей в (Д) обращается в нуль, и уравнения (Д) теряют смысл).
§ 329. Назовем решение (3) уравнений (Д) коллинеарным, если при любом t
существует прямая А = А (?), на которой располагаются все п тел в этот
момент.
Очевидно, решение тогда является компланарным (см. § 325), однако оно
может не быть прямолинейным (см. § 328), так как допускается изменение
прямой A (t) со временем t. Вместе с тем прямая A (t) должна вращаться
вокруг центра масс, оставаясь в плоскости П*, которая сохраняет
неизменное положение в барицентрической инерциальной системе координат ?.
Другими словами, каждое коллинеарное решение является плоским. Это
вытекает из результатов, изложенных в § 327 (случай С ф 0) или в § 326
(случай С = 0).
§ 330. Оказывается, коллинеарное решение обладает или не обладает
инвариантной плоскостью в зависимости от того, является ли оно или не
является одновременно прямолинейным.
Действительно, если прямая A (t) не зависит от t, то, поскольку ii - it
(t) принадлежит этой прямой, ей принадлежит и = = li'(0. так что ?* X ii'
= 0, и в силу (4Д имеем С = 0. Если
§§ 322-332. СЛЕДСТВИЯ ИЗ КОНСЕРВАТИВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 303
же прямая A (t) зависит от t, т. е. если угловая скорость ее движения в
плоскости П* не обращается тождественно в нуль, то С = 0, как это будет
показано в конце § 331а.
§ 331. Покажем, что если коллинеарное решение не является прямолинейным,
то конфигурация п тел сохраняется при изменении t подобной
первоначальной. Другими словами, если взаимные расстояния и изменяются,
то лишь пропорционально друг другу.
Действительно, такое решение является прежде всего плоским (см. § 329).
Следовательно, плоскость движения П* может быть выбрана в качестве
координатной плоскости (?*, ?п) барицентрической инерциальной системы
координат ?. Выберем на этой плоскости систему координат (х, у), имеющую
общее начало с системой (?*, I11), но вращающуюся по отношению к (g1, gn)
с постоянной угловой скоростью ф' = фДО таким образом, что ось х
совпадает при любом t с прямой A (t). Тогда координата у* = у*(?) любого
rrii равна нулю при любом t. Следовательно, проекция абсолютного
ускорения rrii на ось у вращающейся системы координат, определяемая
второй строчкой матрицы (142) § 73 (где надо положить х = х,-, у = yi),
равна 2ф'х/ + qp"xi. Вместе с тем все п тел находятся на оси х, так что
проекции сил притяжения на ось у, т. е. проекции векторов TJ\' на эту
ось, равны тождественно нулю. Следовательно,
2ф'х, + <p"xf = 0
при любом inf. Однако угловая скорость ф' = ф' (t) является аналитической
функцией t, и ена может обращаться в нуль лишь при изолированных
значениях t. Фактически случай ф'(?) = 0 исключен в силу предположения о
том, что решение не является прямолинейным, т. е. что прямая А(?)
действительно вращается. Кроме того, х,- Ф 0, по крайней мере для п - 1
из значений i. Следовательно, можно разделить левую часть соотношения
2ф'х/ + ф"х,- = 0
на ф'х*, по крайней мере при п - 1 значениях индекса i. После этого с
помощью квадратур ползшим, что Xi(t) =X(t)x{(0), по крайней мере для п -
1 из га значений индекса i и для функции X(t), определяемой лишь одной
функцией ф' = ф'(1) и не зависящей от L
Для завершения доказательства достаточно подставить последнее соотношение
в (42). Тогда становится очевидным, что можно не исключать ни одного
значения индекса ?, т. е. что соотношение хг = X(t)xi (0) имеет место при
всех i = 1, ..., п.
304
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
§ 331а. Подставим = k(t)xi(0), yi = 0 в линейные уравнения, определяющие
вращающуюся систему координат (х, у) с помощью невращающейся координатной
системы (I1, |п) и функции ср = = Ф (t). Подставим, далее, получающиеся
выражения для ^(t) и в формулу для С111 (см. (5)). Тогда придем к
соотношению
|q>'|A.Vo = |C|, где Jo - положительная постоянная, равная
2 (tm)i{xl (0) + Iн (0)}.
Так как очевидно, что к2 ф 0, то k(t) =¦ const тогда и только тогда,
когда ф' = const. Другими словами, не только форма, но и размеры
конфигурации п тел не зависят от t тогда и только тогда, когда угловая
скорость ф'(^0) вращения прямой А постоянна.
Из соотношения же |ф' ] кЧо =•| С |, А,2 > 0, /0 > 0, ф' ф 0, вытекает,
что С ф 0, что и утверждалось в конце § 330.
§ 332. Результаты, изложенные в §§ 322, 323-331а, являются, в основном,
следствиями девяти интегралов, найденных в §§ 317 и 316. |
Используя десятый известный интеграл, т. е. (2Д или эквивалентное
выражение (24), покажем, что если данное решение (3) уравнений (1Д
существует при всех t и таково, что 7гп(п - 1) взаимных расстояний между
п телами остаются меньше достаточно большой постоянной, то постоянная
