Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 116

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 202 >> Следующая

это означает, что все п точек ?,¦ = (t) простран-
ства | = (I1, ?п, ?ш) стремятся при t f° к одной и той же точке этого
пространства. Последняя должна, конечно, совпадать с центром масс, т. е.
с началом координат | = 0. Очевидно, такой случай может иметь место тогда
и только тогда, когда положительная функция / = = /(?) стремится к
нулю при f-v?°.
Следовательно, утверждение, которое надо доказать, состоит в том, что
обращение в нуль постоянной интегрирования С является необходимым
условием существования такого t0, что /->-0 при
§§ 333-339. ОДНОВРЕМЕННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
309
Прежде всего заметим, что если 7 ->¦ 0 при t -*• f°, то также стремятся к
нулю все взаимные расстояния pjh = |?j - ?ь|, а силовая функция U
стремится, следовательно, к +°°- Так как
7" = 2Z7+4A,
где h - const, то 7"-v оо при ? -v f°. Таким образом, при значениях t,
достаточно близких к ?0*), имеем 7" > 0, и, следовательно, производная 7'
возрастает и не меняет свой знак. Так как 0 <С 7 ->¦ 0, то 7 - монотонно
убывающая функция. Поэтому из изложенного в § 334а вытекает, что функция
(14) в окрестности ?° не может быть возрастающей. Следовательно, функция
(14) стремится при t -*¦ t° к пределу, который может быть равным -оо, но
не может быть равным +оо. Вместе с тем предел функции (14) равен
1А7/2 + С2
Ц" ¦ <15)
так как h =• const, 7 ->- 0 и, следовательно, -2hJ'!> 0. Однако
Л1 > 0, так что предел (15) - конечный и не отрицательный. Отсюда
вытекает, что величина С2 / Л1 должна оставаться при t -*¦ t°, т. е. при
7 0, ограниченной. Поскольку С2 - const, то
С = 0, что и надо было доказать.
В ходе доказательства было получено, что 7"-"- +оо. Следовательно, из
(lli), где М0, h - постоянные, вытекает, что в достаточно малой
окрестности ?° имеем неравенство
17,,,| < const(7//)'/l.
§ 335а. Используя (11г), покажем, что если t° - момент одновременного
столкновения, то 7'2 / Л2 стремится при t ?°, т. е. при Лг -*¦ 0, к
конечному положительному пределу.
Действительно, как было показано в § 335, функция (14) имеет при
конечный предел (15), который не может быть
отрицательным. Так как С = 0, то, следовательно, существует конечный
неотрицательный предел lim (J'2 / Лг). Но дело в том, что этот предел не
может быть равным нулю.
Прежде всего, поскольку С = 0 и О <С Лг -0, функция (14) и ее предел (15)
запишутся в виде
<, = -2 Ы* + 4(?) ("о
w = ilim(ij), (16,)
*) Так как аадача обратима (см. § 314), то можно предположить без потери
общности, что t стремится к 2°, возрастая.
310 ГЛАВА V. ЗАДАЛА МНОГИХ ТЕЛ
где (j-o = lim Q. Из (16j) видно, что
(2Qrh)'=(J"-4k)J'.
Интегрируя это соотношение в пределах от t до t, причем t -
фиксированное, a t стремится к моменту одновременного столкновения *°, и
учитывая, что lim/l/s = 0, а предел (162) конечен, придем к формуле
с
2 <?/¦/'= J {г-щгт.
i"
Как было указано выше (см. § 335), производная У в достаточно малой
окрестности t° сохраняет знак. Поэтому положительная постоянная тп0 в
(11г) такова, что в достаточно малой окрестности 1?
Однако интеграл в правой части этого неравенства равен
2mnJ'b,
так как У1г 0 при г i°, так что в достаточно малой окрест-
ности Z0
21(>| 7% > 2тоГЬ
т. е. |@| ^ т0. Поскольку т0 > 0, а предел (162) существует, то
доказательство неравенства lim {У2 / У'1) > 0 закончено.
§ 336. Так как предел (162) не обращается в нуль, то убывающая функция J
= J(t) >0 стремится при t -> tP к нулю таким образом, что в достаточно
малой окрестности t° она становится пропорциональной (t - t°Yla с
коэффициентом пропорциональности (0Др-о)а/>. Кроме того, такая
асимптотика сохраняется и после дифференцирования по t. Другими словами,
справедливы асимптотические формулы
1 (17,)
У ~ (12ро2)'/"(*-г0)*, (17г)
(где /, ~ fz означает, что /1 / /2 1 при f т. е. при
7 0).
Действительно, (172) вытекает из (17i) не только в результате формального
(т. е. необоснованного) дифференцирования, но и фактически является
следствием (17,) в силу (162). Вмеете с тем (17,) вытекает из (162), если
переписать это соотношение
§§ 333-339. ОДНОВРЕМЕННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
311
в виде
и затем проинтегрировать его в пределах от 7 = О до близкого 7 > 0.
Интегрирование (но не дифференцирование) такой асимптотической формулы
является всегда законным.
В частности, если /(т) стремится при т-"-0 к некоторому пределу, то к
тому же пределу стремится среднее значение этой функции
В то же время обратное утверждение не будет справедливым, если / не
удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. В теории предельных
процессов такие дополнительные условия называются "тауберовыми
условиями".
§ 337. Мы покажем теперь, что наряду с (162), (17i), (172) имеют место
следующие асимптотические формулы:
Заметим, что (18^) можно получить после формального (т. е.
необоснованного) дифференцирования (162). Кроме того, из (17i) видно, что
(18^ эквивалентно (18о). Наконец, к (182) придем после формального
дифференцирования (172), что справедливо лишь тогда, когда
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed