Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
энергии h должна быть отрицательной. Кроме того, функция 2Т = 2T(t)
должна тогда осциллировать вблизи силовой функции U - U(t) в том смысле,
что
lim 2Т lim U ^ lim U lim2Т (^Z -)- оо) *) при 1~*~ оо.
Так как центр масс находится в точке ? = 0, то предположение об
ограниченности взаимных расстояний р;А = | gj - | при
t -> оо эквивалентно предположению об ограниченности при t -> оо
положительной функции (2Э), так что
0 ^ lim 1 ^ lim / < + оо.
Таким образом, отношение J: t2 при всех достаточно больших t не меньше,
чем некоторая отрицательная, и не больше, чем некоторая положительная
постоянная. Дважды интегрируя вторую
*) Оба символа lim, lim для нижнего и верхнего пределов относятся или к i
->-оо, или к I -> -(-оо.
§§ 333-339. ОДНОВРЕМЕННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
305
производную J" = получим, что при t -V оо
lim/"^0< lim J".
Это неравенство эквивалентно в силу (24) следующему: lim U ^ - 2А ^ lim U
ив силу (2i) неравенству (10).
Заметим, что обе функции (13) и (I4) положительны. Так как lim U ^ -2А,
С/ > 0, то или А < 0, или lim U = 0.
Поскольку в случае lim U = 0 взаимные расстояния становятся в
соответствии с (1з) сколь угодно большими (при достаточно больших t), то
приходим к выводу, что h < 0.
§ 332а. Из приведенного доказательства видно, что если h ^ 0, то не
только lim / = 00, но и lim ] = 00.
Однако нельзя утверждать (и это несправедливо при п > 2), что необходимое
условие h < 0 является также и достаточным для lim / < +оо.
ОДНОВРЕМЕННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
§ 333. Так как (24) содержит обе функции /, U времени t, то было бы
желательно (см. § 332) иметь простое дифференциальное уравнение, в
которое входила бы лишь одна из этих функций вместе со своими
производными. К сожалению, составить такое уравнение невозможно. Вместе с
тем имеется ряд полезных неравенств, связывающих / (или U) и их
производные.
Например, существуют две положительные постоянные М0, то, зависящие от
масс и такие, что функция J = J(t) и ее производные удовлетворяют
неравенствам
для всех решений (3) уравнений (1) с произвольно фиксированным значением
постоянной энергии А(Ц 0).
Доказательство опирается на соотношения
|/"'|^Л/0(|/"| + 4|А|)% (/" - Ah) ]'>' mo > 0
(Hi)
(И*)
Т = р.-1 2 mjmh(%\- ?ft)z,
(12,)
(12*)
которые были выведены в § 322а.
20 Л. Уинтнер
306 ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Столкновения должны быть, конечно, исключены, т. е. расстояния pjii = |?j
- |а| не должны обращаться в нуль. Тогда в соответствии с (4) § 65, где
надо положить v = - ?&, производная р'к существует и при этом j
p'h | ^ | ^ j.
Следовательно, согласно (1з)
I * OTj/Wh j gj j
U'\ =
-s*-
где опять же в силу (1з)
щтк
Pih
так что
1^1 2
<и,
•1Й-Й1
тп^ть
Так как в соответствии с (12i)
mimh(Z'-ZZ)z^2i>iT,
то, полагая
*
М0= ц1/а 2 (mimh)~'h,
получим
| f/'| ^ M0U2(2T)4t.
Отсюда и вытекает (Hi), так как в соответствии с (2J, (24)
U' = -J'", г/2(2Г)'/а^-1(|7"| +4|Л|)Ч
2 4
Точно так же докажем (112). Действительно, каждый член в сумме (12г)
меньше всей суммы (122), т. е.
/¦/. 1Р,.?1Пк > р-ч, (mjinh) 3'Ч
Pjft
Так как согласно (24) и (1з)
4А=22*-^^-,
Pih
то (112) удовлетворяется при
пг0 = 2ц-1/а 2 (т}ткуь.
§§ 333-339. ОДНОВРЕМЕННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 307
§ 334. Другое ограничение на функцию / = J(t) определяется неравенством
1 J'2 С2
(13)
более сложным, чем (lli) -(Иг), так как оно содержит, кроме постоянной
энергии А, также длину \С\ вектора кинетического момента для
произвольного решения (3).
Имея в виду доказательство этого неравенства, заметим прежде всего, что
1?=\Ы\ |Ei-b'|= lEiHEil'-
Следовательно, из определения (2з) получим, что Применение же неравенства
(2"а)<(12"!)(2'?)
% % при а, = rrii ' I li |, bi= rrii I ii I' дает, что
' 4 2
4- - щ
Полагая
ъ , , . vi (li X li)
Д,- ITLi I Si [, A i - mi
1Ы '
перепишем формулу (9) § 316 для С в виде С - и придем
аналогичным образом к оценке
Следовательно, после сложения получим
<*<ь-ьУ+<ь*йЗ-
4 12{
20*
308
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Однако в силу (2) § 65
{ }=&h;2,
так что
4
Из последнего неравенства и вытекает (13), так как 2 = J" -
2h
в силу (14), (2i), (24).
§ 334а. Если через Q - Q(t) обозначить функцию
'A J'2 + с2
Q=-2hTk + . - , (14)
где J'k > 0, то, дифференцируя ее и учитывая соотношение
2 ГЬ '
получим, что производная O' равна произведению (Лг)' на функцию,
являющуюся в силу (13) неотрицательной. Таким образом смысл неравенства
(13) тот, что функции Q' и (J'1')' не могут отличаться друг от друга по
знаку. Это значит, что Q и 71/а, а вместе с тем Q и / изменяются вместе с
t так, что если одна из этих функций возрастает, то другая не может
убывать.
§ 335. Этот факт, вытекающий из неравенства (13), позволяет доказать, что
если решение (3) уравнений (14) обладает инвариантной плоскостью, т. е.
если постоянный вектор С не равен нулю, то не может существовать момент t
= t°, в который происходит одновременное столкновение всех п тел.
Когда мы говорим об одновременном столкновении всех п тел при t = ?°, то
