Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
имеют (см. § 82) 2-3-п (но не больше) независимых интегралов. В то же
время (15г) - (I63) представляют только 1-4-34-3 + 3 независимых
интегралов при любом п(^2). При п~> 2 ни один из остающихся 6п - 10
интегралов неизвестен (если п = 2, то остающиеся два интеграла могут быть
найдены; см. § 218а). Аналогичным образом можем заключить (см. § 82), что
уравнения (15i) имеют 6п - 1 (но не больше) консервативных интегралов, из
которых известны только семь, а именно (15г) - (162). Эти факты
становятся понятными в свете изложенного в § 130 ив § 199.
§ 320а. Следует упомянуть в этой связи о результате Брунса, утверждающем,
что если п > 2, то (15г) - (I62) исчерпывают все независимые
консервативные интегралы уравнений (15i), которые являются
алгебраическими функциями канонических переменных gi, ..., T]n. То же
самое справедливо, если рассматривать
§§ 313-321. ЗАКОН ПРИТЯЖЕНИЯ НЬЮТОНА
293
неопределенные интегралы от алгебраических функций, т. е. дополнить поле
алгебраических функций абелевыми функциями иеременных gi, .. ., ti". См.
по этому поводу § 129.
Вместе с тем Пуанкаре установил факт отсутствия при га ^ 3 дополнительных
изолированных интегралов, и этот результат учитывает, следовательно,
замечания, сделанные в § 129. Тем не менее результат Пуанкаре, а также
формальное его уточнение, сделанное Пенлеве, не является достаточным с
точки зрения, указанной в §§ 129-130. Действительно, эти отрицательные
результаты относятся к случаю не фиксированных, а скорее неопределенных
значений масс гаг* в уравнениях (5), и дополнительно предполагается, что
интегралы, существование которых отрицается, зависят от переменных
значений параметров гаг* определенным аналитическим образом. Очевидно,
что эти предположения пе допускают сами по себе какую-либо динамическую
интерпретацию, поскольку динамическая система (5) определена именно при
фиксированных" положительных числах яг*.
§ 321. Под проблемой га тел подразумевают задачу о движении, описываемом
системой дифференциальных уравнений (5), причем силовая функция U
выражается согласно (32) - (Зз).
Выше мы не использовали явное выражение (Зг) для силовой функции.
Действительно, сказанное в §§ 316-319 можно повторить без всяких
изменений в случае любой функции f/(|i, ..., ?л), инвариантной по
отношению к шести-параметрической группе преобразований ? = -f- ш
евклидовых координат. Например,
можно выбрать U так, чтобы притяжение было пропорциональным не второй, а
любой фиксированной степени расстояния, т. е. можно заменить 1 / pjh в
(32) на 1 / р^х или, точнее, на ±1/рхА, где знак выбирается при данном Я
Щ 0 так, чтобы получить именно сйлу притяжения, а не отталкивания.
В трех случаях Я = 0, Я = ±2 имеет место упрощение. Действительно, если Я
- -2, то U представляет собой квадратичную форму и уравнения (5)
распадаются (после линейного консервативного инерциального
преобразования, не являющегося инерци-альным в ньютонианском случае Я = -
1) на Зга линейных систем вида q" + aq = 0 с одной степенью свободы.
Каждая из этих систем имеет интеграл энергии
1
- (g'Z-l-ag 2) = const,
где постоянная а зависит от гаг*. Если Я = 0, то а - 0, посколь-ну
уравнения (5) приобретают вид ?*" - 0. Наконец, если Я = 2,
294
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
то мы имеем дело со случаем, рассмотренным в § 161, где надо положить р =
-X. В этом случае притяжение обратно пропорционально кубу расстояния, и
уравнения (5) имеют в дополнение к десяти интегралам (15г)- (16г) два
элементарных интеграла
о которых и упоминается в конце § 161.
§ 321а. Многие результаты следующих разделов *) справедливы не только в
случае ньютоновской силы притяжения, но также почти при любом значении
показателя к, а также часто в случаях, когда U является неоднородной
функцией. К сожалению, этот факт говорит не о поразительной общности
результатов, а скорее явно свидетельствует о том, что все известные
практически данные о решениях уравнений (5) задачи га тел постольку и
остаются справедливыми, если не ограничиваться силовой функцией вида
(Зг), поскольку они слишком поверхностны.
С этой точки зрения утверждения, приведенные в §§ 217, 218а, следует
рассматривать как сильный результат. И фактическое положение таково, что
при га > 2 ни один из аналогичных по своему характеру результатов
(аналитических или топологических) не был еще когда-либо сформулирован.
СЛЕДСТВИЯ ИЗ КОНСЕРВАТИВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
§ 322. Пусть дана некоторая инерциальная система координат. Тогда в
соответствии с § § 314-315
2 m&'i (?t - t%{) + 2tU = const,
j 2 m< (& - *?")* - tiU = const-
(17)
m^=UliX
Pift= |?j" lk\, у'трь
*-2
(1з)
(1.)
(ll)
T-U = h,
(20
*) Из этой категории выпадают, конечно, результаты, выписываемые в явном
виде или связанные с конкретными оценками, например, с неравенствами,
имеющимися в §§ 343-344.
§§ 322-332. СЛЕДСТВИЯ ИЗ КОНСЕРВАТИВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
295
(22)
(23)
(24)
J"=ZU + bh.
Согласно сказанному в конце § 317а движение центра масс
