Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений (li), является прямолинейным и равномерным но отношению к
данной инерциальной системе координат ?. Следовательно, преобразование
координат ? = ? - V имеет вид (14) § 318, т. е. является инерциальным
преобразованием. Другими словами, если координатная система ?
инерциальна, то такой же является барицентрическая система координат ? (с
началом в центре масс при любом t и с осями, параллельными осям системы
координат ?). Уравнения (1*) и формулы (1г) - (I4) сохраняют свой вид,
если заменить ?4 на ¦?* = ?i - ?*.
Ниже мы будем всегда предполагать, что инерциальная система координат ?
является барицентрической, т. е. ?, = ?i и
при любом t. Другими словами, инерциальная система координат может быть
(и будет) выбрана так, что шесть постоянных интегрирования,
соответствующие постоянным векторам А, В в (11) § 317, обращаются в нуль.
Таким образом, девять интегралов (9) - (Юг) §§ 316-317 сводятся к
следующим:
где С - постоянный кинетический момент относительно центра масс,
являющегося началом О инерциальной системы координат ?. Постоянная h в
(2i) равна энергии (постоянной), а величина /, определяемая формулой
(23). является для решения (3) полярным моментом инерции относительно О
(вообще.не постоянным).
V ~ Ц-1 fra,-?i, соответствующее какому-либо заданному решению
& = &(*). i = 1..........",
(3)
рг1 2 = О
5JIB& X l'i = с, 2 = о,
(41)
(42)
(43)
296 ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Заметим, что формулы (42) - (43) представляют не интегралы, а лишь
инвариантные соотношения для уравнений (li), поскольку в них нет
произвольных постоянных интегрирования (см. § 82). Кроме того, (43)
вытекает из (42), так как (4Д имеет место при любом t.
Проекции векторов С на оси ?*, ?п, ?ш координатной системы | обозначим
через li4, Cv, v = I, II, III, соответственно, так что можно выписать на
основании (4i) три скалярных интеграла
= (5) где (а, р, у) = (I, II, III), (II, III, I), (III, I, II).
§ 322а. В силу (42)- (4з) суммы (23) и (К) выражаются через V2п(п - 1)
взаимных расстояний рц = |?j - ?ь| и ]/2га(та - 1) взаимных скоростей |
I/ - | соответственно. Действительно,
• ^ *
/ = ?Г1 2 mimhPjk, Т = - р-1 2 mimh (lj - h)z,
где p определяется согласно (22), а символ 2* имеет тот же смысл, что и в
(Г3). Чтобы получить на основании (42), (43) такие выражения для J ж Т,
достаточно применить тождество (1) § 65 к aL - тп'1г и к каждому из
скалярных компонентов Ь,- 3-векторов
mi4,1и где х,- = Ь или Xi = li.
Аналогичным образом интеграл (4Д можно переписать с помощью (4г) - (43) в
виде
С = р-1 2 * Щтк (lj - 10 X (1} - 1'ь).
Заметим, что если п - 3, то, поскольку = 0, имеем
рё" == mhlj 7П]1ь, где & = (i,j,k) - (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2).
§ 323. Так как координатные системы I и ? = ?2? имеют при любой матрице
вращения ?2 = ?2(2) общее начало координат, то система координат I
является барицентрической, если таковой является система ?. Однако
критерий (14) § 318 показывает, что система I = ?2? при заданной
инерциальной барицентрической системе I является также инерциальной лишь
тогда, когда ?2 не зависит от 2. Таким образом, множество всех
инерциальных барицентрических систем координат зависит только от трех
констант, определяющих произвольную матрицу вращения ?2 = const.
Покажем теперь, что эти три константы позволяют выбрать инерциальную
барицентрическую систему координат таким обра-
§§ 322-332. СЛЕДСТВИЯ ИЗ КОНСЕРВАТИВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 297
зом, чтобы постоянные интегралов (5), представляющие собой компоненты
постоянного вектора (4i), были равны
с1 = 0, С11 = о,
сш = ±| (сх)* + (сп),+(сш),Г/,*э ±1с1-
Кроме того, если С =^= 0, то можно выбрать инерциальную барицентрическую
систему координат так, что
С1 = 0, Сп = 0, Сш = \С\, (7)
а если С = 0, то (7) имеет место для любой инерциальной барицентрической
системы координат.
Прежде всего, если ? и g = fig - некоторые две инерциальные
барицентрические системы координат и если через С, С обозначены
постоянные векторы кинетических моментов в этих системах соответственно,
то С = QC согласно (?) § 319. Следовательно,
| С | = | С | и Cg = Cg. Если исключить пока случай С = 0, то уравнение С
¦ g = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.
Поскольку же С ¦ g = С ¦ g, то уравнение С ¦ g = 0 определяет ту же
плоскость. Другими словами, плоскость, проходящая через центр масс и
перпендикулярная к вектору кинетического момента, не только не зависит от
t (поскольку С = const), но, кроме того, она одна и та же в любой
инерциальной барицентрической системе координат. Эта плоскость, которая
определена только тогда, когда С ф 0, называется инвариантной плоскостью
для данного решения (3) уравнений (li). Из (4i) или (5) видно, что (6)
имеет место тогда и только тогда, когда инвариантная плоскость совпадает
с плоскостью (g1, gn) барицентрической инерциальной системы координат g =
(g1, g11, g111), и что равенства (7) имеют место в такой барицентрической
инерциальной системе координат, в которой ось g111 параллельна нормали к
