Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
инвариантной плоскости, причем положительное направление нормали к этой
плоскости считается совпадающим с направлением кинетического момента.
Наконец, если этот вектор обращается в нуль, т. е. если инвариантная
плоскость не существует, то (6) и (7) имеют место в любой инерциальной
системе координат, поскольку С = С при С - 0.
Заметим, что постоянная энергия для решения (3) одна и та же в любой
инерциальной барицентрической системе координат (см. (?) § 319).
§ 324. Данное решение (3) уравнений (1) назовем плоским, если в
барицентрической инерциальной системе координат g существует неизменная
плоскость П*, в которой все п тел находятся при любом t.
298
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Покажем, что для плоского решения плоскость П* является инвариантной,
если для этого решения инвариантная плоскость существует (т. е. если С ф
0).
Действительно, если плоскость П* существует, то очевидно, что центр масс
находится в этой плоскости. Так как положение П* не зависит от t, то
можно выбрать барицентрическую инерциальную систему координат | так, что
плоскость (I1, |п) совпадет с П*. Тог-да Бш= 0 при всех t и ?.
Следовательно, (5) показывает, что имеют место равенства (6). Так как эти
равенства представляют собой (см. § 323) необходимые и достаточные
условия того, что плоскость (I1, |п) системы | совпадает с инвариантной
плоскостью в случае С ф 0, то доказательство закончено.
Из единственности начальной задачи для дифференциальных уравнений (lj)
вытекает, что решение (3) будет плоским тогда и только тогда, когда при
фиксированном t = to существует такая плоскость, в которой лежат при t =•
ta не только п векторов положения I,-, но и п векторов скоростей |/.
§ 325. Данное решение (3) уравнений (li) назовем компланарным, если при
любом t все п тел находятся в некоторой плоскости
Не всякое компланарное решение является плоским. Действительно, хотя
любое решение задачи трех тел является компланарным, но, как это следует
из последнего замечания в § 324, решения этой задачи не являются вообще
плоскими. Можно показать, что компланарные, не плоские решения существуют
также при любом п > 3 *).
*) Действительно, пусть, например, п = 4, и пусть массы тj попарно равны
(mi = т2, т3 = т4). Выберем начальные положения и начальные скорости
обеих пар тел с равными массами так, что они будут симметричными по
отношению к некоторой плоскости Р, проходящей через центр масс О. Тогда
положение любой пары этих тел останется симметричным по отношению к Р при
любом t, так что все четыре тела лежат при любом t в плоскости П(0,
перпендикулярной к Р и вращающейся в соответствии с (4i) вокруг нормали к
Р, проходящей через ОL Следовательно, решение будет обязательно
компланарным.
Усложняя условия симметрии, можно получить компланарное не плоское
решение также и при любом п > 4. Действительно, пусть начальные положения
и начальные скорости четырех тел с равными массами выбраны так, что они
будут симметричными не только по отношению к плоскости Р, но п по
отношению к прямой К, перпендикулярной к Р, причем Р и К проходят через
начало координат. Кроме того, пусть в начальпый момент
произвольное число пар тел с равными массами лежит на
прямой К, скорости тел направлены вдоль К и эти скорости и положения тел
симметричны относительно плоскости Р. Наконец, если п - нечетное,
и = П(г).
gg 322-332. СЛЕДСТВИЯ ИЗ КОНСЕРВАТИВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 299
§ 325а. Пусть дано компланарное решение (3), причем п - произвольное.
Введем вместо инерциальной барицентрической системы координат g = (g1,
gn, gm) барицентрическую (но вообще не инер-циальную) систему g = (х, у,
z), вращающуюся вокруг центра масс так, что плоскость (х, у) совпадает
при любом t с плоскостью П(?), в которой находятся всегда все п тел.
Таким образом,
Jxx = 2 mixU JVV = 2 тгУ* > Jxy - 2 mixiVU (9l)
Действительно, формулы (8z), (83) показывают прежде всего, что компоненты
вектора gi X g/ равны 0, 0 и (лэд/ - у&\) соответственно. В то же время
компоненты вектора gi X {S X li)
то поместим тело с произвольной массой в начало координат О (точку
пересечения Р и К). Тогда в процессе движения симметрия относительно
прямой и плоскости не будет нарушаться. Таким образом, опять все тела
будут располагаться при любом t в плоскости П (i), проходящей через
прямую К, так что решение будет компланарным, но вообще не плоским.
*) Заметим, что Q (f) определяется условиями (83) не единственным
образом, поскольку положение оси х в плоскости может быть выбрано
произвольно. Например, можно нормализовать матрицу вращения, потребовав,
чтобы т 1 находилось при любом t на оси х. Тогда Q(t) будет аналитической
функцией t (в силу аналитичности каждого решения (3) дифференциальных
уравнений (li) с аналитическими правыми частями).
6=06,
ii = (*/,УиZi) (? = 1,... т га), *,(?) = О,
(81)
(82)
(83)
где fi = Q(t) - матрица вращения*). Положим
(9а)
и определим S = (si, S2, S3) посредством fi с помощью (5) § 66. Покажем,
