Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 109

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 202 >> Следующая

согласно (13). В обоих случаях
"инерция" тел изменяется именно благодаря введению координатной системы
g, не являющейся инерциальной в указанном в § 313 смысле.
§ 319. Все 10 постоянных интегралов (7г), (9), (Юг), (Юз) были отнесены к
заданной инерциальной координатной системе g. Эти интегралы сохраняются,
конечно, и при переходе к любой другой инерциальной координатной системе
g, но при этом мы получим в соответствии с (14) вместо постоянных
h, С, А, В исходных интегралов другие постоянные h, С,
А, В. Достаточно исследовать
связь между этими постоянными в случае трех подгрупп
1= OS, (0
S = S+P, (iO
(iii)
из которых состоит вся группа инерциальных преобразований (14).
(г) Пусть g = Qg, где Я = const. Тогда, как было показано в начале § 316,
оба выражения (3i), (Зг) остаются неизменными.
S =: S + са,
19 А. Уинтнер
290
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Следовательно, имеет место не только инвариантность лагранже-вой функции
(2з), но в силу (7г) и равенство Ъ - h. Вместе с тем в соответствии с
определением векторного произведения имеем
= (ПБ) X (ОГ) = ?2 (Е X 5'),
так что _
С= QC
в силу (9). Поэтому не только \С\ = |С|, но и направление вектора,
представляющего кинетический момент системы, остается в трехмерном
евклидовом пространстве неизменным и не зависит, таким образом, от выбора
направления осей декартовой системы координат с фиксированным началом.
(it) Если | = 5 + Р, где р = const, то, как было показано в начале § 317,
функции (3j) и (Зг) остаются неизменными. Следовательно, имеет место не
только инвариантность функции Лагранжа (2з), но в силу (7г) и равенство h
- h.
Вместе с тем
Ix? = (i+p)x(i+p)/^(gxr)+(pxr).
Следовательно, _
С = С + (р X А)
в силу (9) и (10i). Наконец, из (Юг) вытекает, что А - А, но
В = В + р,р,
где р = 2та*. _
(iii) Если ? = ? + ai, где a - const, то хотя силовая функция (Зг) при
этом не изменяется, но функция (3i) выражается в новых координатах по
формуле
г = 4т<(^+а)2
и, следовательно, не инвариантна. Таким образом, функция Лагранжа (2з) не
инвариантна, хотя уравнения Лагранжа при таком преобразовании не
изменяются (преобразование ? = ? + ai является согласно (14)
инерциальным). Однако это изменение сводится в силу (5) к появлению
аддитивной постоянной. Действительно, разность между выражениями
т = -у +
и
§§ 313-321. ЗАКОН ПРИТЯЖЕНИЯ НЬЮТОНА 291
равна в силу (10i) а-4+ Уаа2р, где р = Ъггц. Б соответствии с этим
Ъ = Л + а-4 + уа2|1,
поскольку в (72) силовая функция U инвариантна. Кроме того, поскольку
векторное произведение
^ X f = (g + at) X (Г + а) равно сумме трех векторных произведений
1X1', (aXl')t, IX а, то в соответствии с (9), (100, (11)
С = С + {ВХа).
Наконец, из (10i), (102) вытекает, что В - В, но
А = А + ра,
где р = Хтгц.
Обратим внимание на параллелизм формул преобразования постоянных С, В, А
в случаях (ii), (iii).
§ 320. В соответствии с (6i) ¦-¦ (63) гамильтонова форма уравнений
Лагранжа (5) следующая:
л-=-Яе., Й = Яч., (150
где
Я = 2 ml1 г]--Я,
и
а интеграл энергии имеет вид
Я = А. (15а)
Девять интегралов (9), (Ю2), (Юз) перепишутся в соответствии с (60 в виде
2 ^ = (Ю1)
2 41 = ^. (Юг)
2 miU - t 2 ТЦ = В. (16а)
Операция, которая была указана в § 92, не прибавляет после ее применения
к девяти интегралам (160 - (Юз) новых интегралов.
19'
292
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Это происходит по той причине, что, как видно, из (30) § 24 три скалярных
компонента любого из 3-векторов (16Д, j= 1, 2, 3, совпадают с точностью
до обозначений с тремя скалярными функциями F3j-2, Fn-i, F3j,
определяемыми согласно (29i) - (29г) § 24 и выписанными в (30) § 24.
Сумма всех импульсов (I62) равна количеству движения системы. Таким
образом, семь интегралов (15&), (16i), (I62) выражают факт постоянства
энергии, кинетического момента и количества движения вдоль какого-либо
решения. В то же время три неконсервативных интеграла (16а) соответствуют
согласно изложенному в конце § 317а лишь другой формулировке положения о
постоянстве количества движения или же о равномерном и прямолинейном
движении центра масс.
Из §§ 317-318 видно, что девять интегралов (16i) - (163) соответствуют
девяти параметрам (скалярным компонентам векторов Q, а, Р), имеющимся в
группе (14) всех инерциальных преобразований. Аналогичным образом (см. §
96а) десятый известный интеграл (15г) является следствием того факта, что
уравнения (5), описывающие консервативную систему, не изменяются при
замене t на t = t + const. Действительно, если t - абсолютное время в
указанном в § 313 смысле, то t будет также абсолютным временем тогда,
когда J = t - t° (ив силу изложенного в § 160 только тогда, когда t = ±?
- t°), где t° - произвольная постоянная. Группа преобразований с десятью
параметрами, соответствующая существованию десяти интегралов (15г) -
(16з), получается именно после присоединения к (14) преобразования t = t
- t°, и она называется обычно группой галилеевых преобразований.
Так как и г),-, где i = 1, ..., п, суть 3-векторы, то уравнения (15i)
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed