Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, если re - 1 векторов (1) известны, то |п найдется из
соотношения 2тга{|,- = 0, a It,..., |n-i - из (1). Векторы (1),
определяющие положения rail,..., rezn_i относительно тп, будем называть
гелиоцентрическими координатами, а тп будем рассматривать как "Солнце"
(даже в том случае, если тпп не наибольшая из га масс). Гелиоцентрическая
система координат х имеет таким обравом оси, параллельные при любом t
осям инерциальной системы координат |, а ее начало находится в тпп.
§§ 340-347. ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
315
Из уравнений (5) § 314 и критерия (14) § 318 сразу следует, что
гелиоцентрическая система координат не является вообще инерциальной.
Поэтому уравнения Лагранжа в гелиоцентрической системе координат х нельзя
получить путем простой замены | на х в уравнениях (5) § 314, и их следует
вывести непосредственно. Кроме того, такой вывод не может опираться на
правило § 95. Действительно, в § 95 предполагается, что формулы
преобразования обладают отличным от нуля якобианом. Однако это условие в
случае перехода к гелиоцентрическим координатам не удовлетворяется,
поскольку согласно (1) га векторов (ji,..., ?" заменяются лишь на га - 1
линейных комбинаций этих векторов.
§ 341. С целью избежать этого затруднения присоединим к (1) следующую
линейную комбинацию:
га инерциальных векторов ?< (не обязательно барицентрических). Вектор хп,
определяющий положение центра масс, рассмотрим как га-ю переменную. Легко
заметить, что преобразование, обратное консервативному линейному
преобразованию (1) - (2), определяется единственным образом по формулам
и. следовательно, преобразование (1) - (2) обладает отличным от нуля
определителем (1). Таким образом, к этому преобразованию применимо
правило, указанное в § 95.
Ниже мы используем при непосредственном применении этого правила символы
суммирования 2°, 2+, которые получаются из (4i) - (4г) § 314 после замены
га на га - 1, так что
2' = 2 . 2+= 2 (2Г=2+ + 2*)-W
(2)
Л-1
(3)
1=1
/ = 1, ..., га - 1
П
п-1
(40
j=i
316 ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Прежде всего из (3) вытекает, что если / < к, то Sj - lh = Xj - Xk, к -
1, ..., n - 1 и - ift - Xj, k - n.
Следовательно, выражение (3Z) § 314 для силовой функции U перепишется в
силу (3) в виде
и = Z
где
тт ъ+Щ'Пк "о m,j
U 2j _ + mn 2j . (5)
Pj'ft Pjn
p jh - | xj xh |, Pjn - | Xj I ¦
Подставляя (3) в выражение (3i) § 314 для T, получим
г=г+1ц*;\ (6,)
(s° mx[ ^
rriiXi - - -----------, (62)
1 vo /2 i f 23 вд )
' = -h rriiXi ^^
2 2 p
p = 23 (63)
Следовательно, функция Лагранжа ?(?', E) = Г + U преобразуется согласно
(3) к виду
L = Т + ? ^,
где U выражается по формуле (5) и содержит в силу (4i) - (42) лишь п - 1
гелиоцентрических векторов (1), так что хп является циклической
координатой (см. § 182). Функция Т, определяемая по формуле (62), не
содержит хп'. Следовательно, преобразованная функция Лагранжа имеет вид
т т I ^ ,г L - L - fixn ,
где L = Т + U не содержит хп', хп. Поэтому уравнения Лагранжа
[? + ^P*nJ]x.. = 0, i = 1 п,
расщепляются на систему
[L]X=[T + U]X= 0 (7)
или _
(Tx.t)' = UXf i = 1 и - 1,
§§ 340-347. ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
317
не содержащую хп, хп , и на одно уравнение
Последнее уравнение определяет согласно (2) равномерное и прямолинейное
движение центра масс (см. § 317а).
В соответствии с изложенным координата хп является линейной функцией t, а
постоянные интегрирования для хп = xn(t) можно без потери общности
выбрать (см. § 322) равными нулю. Тогда
при любом t, т. е. инерциальные координаты ..., ?п становятся
барицентрическими. Наконец, уравнения (7) представляют собой лагранжеву
систему с 3(п - 1) степенями свободы и содержат, как и требовалось, лишь
гелиоцентрические координаты (1)
Конечно, система (7) не обладает шестью интегралами, соот ветствующими
тем, которые были найдены в § 317. Действительно, эти интегралы были
использованы при понижении порядка системы с Зп до 3(п - 1), и они
соответствуют равенству (8). Однако эта система имеет 3 + 1 = 4
интеграла, соответствующих трем интегралам, найденным в § 316, и
интегралу энергии.
Эти интегралы следующие:
где С, h - те же барицентрические постоянные интегрирования, что и в §
322. Действительно, к (9i) можно легко прийти после подстановки (3) в
интеграл (9) § 316
если использовать (4i), (63) и (8). Так как Т - U = А, то (9г) вытекает
аналогичным образом из (6,), (62) и (8). Формуле (9г) соответствует
следующая:
(8)
= С, (9t)
Т - U = h
(9а)
J" =2 U + 4 h,
(10,)
318 ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Действительно, (Юг) можно получить на основании (3) и выражения
J = 2/га&г
точно так же, как были получены формулы (61) - (62) для Т. Формула же
(10i) совпадает с (24) § 322.
§ 342. Для того чтобы выписать уравнения гелиоцентрического движения в
явной форме, достаточно выполнить в (7) дифференцирование, а затем
разрешить получающиеся уравнения относительно гелиоцентрических ускорений
х[' , ..., Zn-i. Покажем, что в результате мы придем к уравнениям
